Considere a matriz M=(rr4 & -2 -2 & 7).
i) Mostre que a função lang<=rang<=:, R^2 times R^2 R dada por
lang<=(x, y),(a, b)rang<==(x y) Mbinomab
é um produto interno sobre R^2.
ii) Calcule lang<=(2,-1),(3,4)rang<=.
iii) Calcule |(2,-1)|.

Passo 1

O enunciado nos dá a forma bilinear
lang<= (x,y),(a,b)rang<= = (x;y);M;binomab,
onde
M = 4 & -2 -2 & 7,
e pede para mostrar que isso é um produto interno em R^2 (isto é, bilinear, simétrico e positivo\mbox{-}definido), e depois calcular lang<=(2,-1),(3,4)rang<= e a norma de (2,-1).

Passo 2

Primeiro, bilinearidade e simetria:
  • Bilinearidade em cada entrada segue da linearidade do produto matricial: para u=(x,y), v=(a,b) e w=(c,d) e escalar alpha, lang<= u+v,wrang<= = l((x,y)+(a,b)r)Mbinomcd = (x+a,;y+b)Mbinomcd = (x,y)Mbinomcd + (a,b)Mbinomcd = lang<= u,wrang<= + lang<= v,wrang<=, e similarmente em cada argumento e em relação ao escalar alpha.
  • Simetria: como M é simétrica ( M^T=M), temos lang<= u,vrang<= = u^T M v = v^T M^T u = v^T M u = lang<= v,urang<=

Passo 3

Agora, positividade: para v=(x,y)neq(0,0),
lang<= v,vrang<= = (x,y)4 & -2 -2 & 7binomxy =4x^2 -4xy +7y^2
Completemos o quadrado:
4x^2 -4xy +7y^2 =4l(x-tfrac12yr)^2 -4cdottfracy^24 +7y^2 =4l(x-tfrac12yr)^2 +6y^2
Como 4(x-tfrac12y)^2>=0 e 6y^2>=0, e pelo menos um dos termos é estritamente positivo se (x,y)neq(0,0), segue lang<= v,vrang<=>0.

Passo 4

Concluímos então que lang<=cdot,cdotrang<= é bilinear, simétrica e positiva\mbox{-}definida, logo é um produto interno em R^2.

Passo 5

Para calcular
lang<=(2,-1),(3,4)rang<=, façamos
Mbinom34 =4 & -2 -2 & 7binom34 =binom4cdot3 -2cdot4-2cdot3 +7cdot4 =binom12-8-6+28 =binom422,
e então
lang<=(2,-1),(3,4)rang<= =(2,,-1)binom422 =2cdot4 +(-1)cdot22 =8 -22 =-14

Passo 6

Para a norma, primeiro
lang<=(2,-1),(2,-1)rang<= =(2,-1);M;binom2-1 =(2,-1)binom4cdot2 -2cdot(-1)-2cdot2 +7cdot(-1) =(2,-1)binom8+2-4-7 =(2,-1)binom10-11 =2cdot10 +(-1)cdot(-11) =20 +11 =31
Logo
|(2,-1)| = raizlang<=(2,-1),(2,-1)rang<= = raiz31

Resposta

i) lang<=cdot,cdotrang<= é produto interno (bilinear, simétrico e positivo–definido).
ii) lang<=(2,-1),(3,4)rang<= = -14.
iii) |(2,-1)| = raiz31.

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