Considere a matriz .
i) Mostre que a função lang<=rang<=:, R^2 times R^2 R dada por
lang<=(x, y),(a, b)rang<==(x y) Mbinomab
é um produto interno sobre R^2.
ii) Calcule lang<=(2,-1),(3,4)rang<=.
iii) Calcule |(2,-1)|.
Passo 1
O enunciado nos dá a forma bilinear
lang<= (x,y),(a,b)rang<= = (x;y);M;binomab,
onde
M = 4 & -2 -2 & 7,
e pede para mostrar que isso é um produto interno em R^2 (isto é, bilinear, simétrico e positivo\mbox{-}definido), e depois calcular lang<=(2,-1),(3,4)rang<= e a norma de (2,-1).
Passo 2
Primeiro, bilinearidade e simetria:
Bilinearidade em cada entrada segue da linearidade do produto matricial: para u=(x,y), v=(a,b) e w=(c,d) e escalar alpha, lang<= u+v,wrang<= = l((x,y)+(a,b)r)Mbinomcd = (x+a,;y+b)Mbinomcd = (x,y)Mbinomcd + (a,b)Mbinomcd = lang<= u,wrang<= + lang<= v,wrang<=, e similarmente em cada argumento e em relação ao escalar alpha.
Simetria: como M é simétrica (M^T=M), temos lang<= u,vrang<= = u^T M v = v^T M^T u = v^T M u = lang<= v,urang<=