Em cada um dos casos abaixo, determine se o conjunto {u, v, w} \subset \mathbb{R}^{3}} é ortonormal, apenas ortogonal ou nenhum dos dois.
u=(a, b, c), v=(-b, a, 0), w=\left(-a c,-b c, a{2}+b{2}\right).
u=(a, b, c), v=(-b, a, 0), w=\left(-a c,-b c, a{2}+b{2}\right).
Passo 1
O exercício nos dá os vetores u=(a,b,c), v=(−b,a,0) e w=(−ac,−bc,a²+b²) em ℝ³ e pede para decidir se {u,v,w} é ortonormal, apenas ortogonal ou nenhum dos dois. Vamos usar conceitos de produto interno e norma para isso.
Passo 2
Primeiro, calculamos os produtos internos para ver se são todos zero (condição de orthogonalidade). Para u·v:
Para u·w:
Para v·w:
Passo 3
Como todos os produtos internos são zero independentemente de a, b e c (desde que não tenhamos vetores nulos degenerados), concluímos que o conjunto é sempre ortogonal.
Passo 4
Agora vamos checar as normas para ver se são iguais a 1 (condição de ortonormalidade). Temos
Passo 5
Para que cada norma seja 1, precisaríamos satisfazer simultaneamente
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Da condição 1 e 2 tiramos c² = 0, ou seja c = 0, e a² + b² = 1. Nesse caso, as três normas ficam 1 e o conjunto é ortonormal. Se c ≠ 0 ou a² + b² ≠ 1, não dá para ter todas as normas iguais a 1.
Passo 6
Portanto, para parâmetros genéricos (a,b,c), {u,v,w} é sempre um conjunto ortogonal, mas só se torna ortonormal no caso especial em que c = 0 e a² + b² = 1. Caso contrário, é apenas ortogonal.
Resposta
O conjunto {u,v,w} é ortogonal para quaisquer valores de a,b,c (desde que não degenerem em vetores nulos) e só é ortonormal no caso particular em que c = 0 e a² + b² = 1. Em todos os outros casos, é apenas ortogonal.