Em cada um dos casos abaixo, determine se o conjunto {u, v, w} \subset \mathbb{R}^{3}} é ortonormal, apenas ortogonal ou nenhum dos dois.
u=(a, b, c), v=(-b, a, 0), w=\left(-a c,-b c, a{2}+b{2}\right).

Passo 1

O exercício nos dá os vetores u=(a,b,c), v=(−b,a,0) e w=(−ac,−bc,a²+b²) em ℝ³ e pede para decidir se {u,v,w} é ortonormal, apenas ortogonal ou nenhum dos dois. Vamos usar conceitos de produto interno e norma para isso.

Passo 2

Primeiro, calculamos os produtos internos para ver se são todos zero (condição de orthogonalidade). Para u·v:
ucdot v = a(−b) + b(a) + c(0) = −ab + ab = 0
Para u·w:
ucdot w = a(−ac) + b(−bc) + c(a² + b²) = −a²c − b²c + c(a² + b²) = 0²²²²²²
Para v·w:
vcdot w = (−b)(−ac) + a(−bc) + 0·(a² + b²) = abc − abc = 0²²

Passo 3

Como todos os produtos internos são zero independentemente de a, b e c (desde que não tenhamos vetores nulos degenerados), concluímos que o conjunto é sempre ortogonal.

Passo 4

Agora vamos checar as normas para ver se são iguais a 1 (condição de ortonormalidade). Temos
|u| = raiza² + b² + c²,²²²
|v| = raiz(-b)² + a² + 0² = raiza² + b²,²²²²²
|w| = raiz(-ac)² + (-bc)² + (a² + b²)² = raizc²(a² + b²) + (a² + b²)² = raiz(a² + b²)(a² + b² + c²)²²²²²²²²²²²²²²²²

Passo 5

Para que cada norma seja 1, precisaríamos satisfazer simultaneamente
  1. a² + b² + c² = 1²²²
  2. a² + b² = 1²²
  3. (a² + b²)(a² + b² + c²) = 1²²²²²
    Da condição 1 e 2 tiramos c² = 0, ou seja c = 0, e a² + b² = 1. Nesse caso, as três normas ficam 1 e o conjunto é ortonormal. Se c ≠ 0 ou a² + b² ≠ 1, não dá para ter todas as normas iguais a 1.

Passo 6

Portanto, para parâmetros genéricos (a,b,c), {u,v,w} é sempre um conjunto ortogonal, mas só se torna ortonormal no caso especial em que c = 0 e a² + b² = 1. Caso contrário, é apenas ortogonal.

Resposta

O conjunto {u,v,w} é ortogonal para quaisquer valores de a,b,c (desde que não degenerem em vetores nulos) e só é ortonormal no caso particular em que c = 0 e a² + b² = 1. Em todos os outros casos, é apenas ortogonal.

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