Questão 2. Sejam .
(a)(1.0pt) calcule a área do triângulo formado por A B e A C.
(b) (1.0 pt) calcule o volume da pirâmide triangular formada por esses 3 vetores.
Passo 1
A questão pede a área do triângulo com vértices em A, B e C, dados pelos vetores AB=(1,-1,1) e AC=(2,3,1), e o volume da pirâmide triangular (tetraedro) com arestas AB, AC e AD=(3,-1,2). Vamos usar produto vetorial (área de paralelogramo e depois metade para triângulo) e produto escalar misto (volume de paralelepípedo e depois 1/6 para tetraedro).
Passo 2
Para achar a área, primeiro calculamos o produto vetorial ABtimesAC. Lembrando que
ABtimesAC=deti&j&k1&-1&12&3&1=(-4,,1,,5)
Passo 3
Em seguida, o módulo desse vetor é
|(-4,1,5)|=raiz(-4)^2+1^2+5^2=raiz42,
e como a área do triângulo é metade da do paralelogramo, temos área=tfrac12raiz42=tfracraiz422á
Passo 4
Para o volume do tetraedro, usamos o produto escalar misto:
V=16l|l(ABtimesACr)cdotADr|
Passo 5
Calculando o escalar:
( -4,1,5)cdot(3,-1,2)=-4cdot3+1cdot(-1)+5cdot2=-12-1+10=-3,
logo V=|-3|6=36=12
Resposta
Área do triângulo: tfracraiz422. Volume da pirâmide (tetraedro): tfrac12.