Questão 1.(3.0pt) ESCOLHA e RESOLVA 2 ítems.
Sejam u=(1,-2,1) e v=(4,-3,2). Decomponha v como soma de vetores x e y tais que x é paralelo u e y é ortogonal a u.

Passo 1

O enunciado pede para decompor o vetor vec v=(4,-3,2) em dois componentes: um vec x paralelo a vec u=(1,-2,1) e outro vec y ortogonal a vec u. Para isso vamos usar o conceito de projeção de um vetor em outro e a definição de ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro calculamos os produtos escalares necessários: o produto escalar vec ucdotvec v e o produto escalar vec ucdotvec u. Temos
vec ucdotvec v = 1cdot4 + (-2)cdot(-3) + 1cdot2 = 4 + 6 + 2 = 12,
vec ucdotvec u = 1^2 + (-2)^2 + 1^2 = 1 + 4 + 1 = 6

Passo 3

O vetor paralelo vec x a vec u é dado pela projeção de vec v sobre vec u:
vec x = projvec u(vec v) = vec v cdot vec uvec u cdot vec u,vec u = 126(1,-2,1) = (2,-4,2)

Passo 4

O vetor ortogonal vec y a vec u é simplesmente o restante de vec v após subtrairmos vec x:
vec y = vec v - vec x = (4,-3,2) - (2,-4,2) = (2,1,0)

Resposta

Decomposição: vec x = (2,-4,2) e vec y = (2,1,0).

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