Questão 4.(3.0pt) ESCOLHA e RESOLVA 2 ítens.
Identifique, descreva os principais elementos, encontre equação reduzida do lugar geométrico do plano XY equidistante do ponto e da reta .
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico no plano XY de todos os pontos equidistantes do ponto F(2,3) e da reta x = -6. Isso caracteriza uma parábola, e vamos usar a definição de parábola e as fórmulas de distância para encontrar sua equação reduzida.
Passo 2
Pela definição de parábola, para um ponto genérico (x,y) devemos ter a distância ao foco F(2,3) igual à distância à diretriz x = -6.
A distância de (x,y) ao foco F(2,3) é dada por . A distância de (x,y) à reta é
Passo 3
Igualando as distâncias e elevando ao quadrado:
(x-2)^2 + (y-3)^2 = (x+6)^2
Expandindo e simplificando:
x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + 12x + 36
Cancelando x^2 e reorganizando termos:
y^2 - 6y - 16x - 23 = 0
Passo 4
Para passar à forma canônica, completamos o quadrado em y:
y^2 - 6y = (y-3)^2 - 9
Substituindo de volta e isolando o termo com x:
(y-3)^2 - 9 - 16x - 23 = 0
Logo obtemos a forma reduzida:
(y-3)^2 = 16(x+2)
Passo 5
A partir dessa forma podemos identificar os principais elementos da parábola: vértice, foco, diretriz, eixo de simetria, parâmetro focal e latus rectum.
O vértice é V(-2,3); o foco é F(2,3); a diretriz é x = -6; o eixo de simetria é a reta y = 3; o parâmetro focal é p = 4; e o comprimento do latus rectum é 4p = 16.
Resposta
A equação reduzida do lugar geométrico é
(y-3)^2 = 16(x+2)
Os principais elementos são:
• Vértice: V(-2,3)
• Foco: F(2,3)
• Diretriz: x = -6
• Eixo de simetria: y = 3
• Parâmetro focal: p = 4
• Latus rectum: 4p = 16