Questão 4.(3.0pt) ESCOLHA e RESOLVA 2 ítens.
Descreva (eq reduzida, nome, principais elementos) o lugar geométrico dos pontos
tais que
.
Descreva (eq reduzida, nome, principais elementos) o lugar geométrico dos pontos
Passo 1
O enunciado pede para reconhecer e descrever o lugar geométrico dado pela superfície quádrupla
Isso envolve completar quadrados (teoria de seções cônicas em 3D) e identificar o tipo de quádrupla, sua equação reduzida, nome e principais elementos.
Passo 2
Vamos completar quadrados em cada variável:
Para x:
Para x:
Para y:
Para z:
Substituindo tudo na equação original e somando constantes:
Passo 3
Reescrevendo e somando os termos independentes:
Os termos constantes dão -1-2+1+6=4, logo:
Passando 4 para o outro lado e dividindo por 4:
Passo 4
Da equação reduzida
vemos que se trata de um hiperbolóide de duas folhas, com eixo principal paralelo ao eixo z.
Centro: .
Vértices: obtidos tomando e
, dando
, isto é
. Assim os vértices são
e
.
Eixos principais: direção do eixo z para as folhas, e nas direções x e y as secções são elipses.
Centro:
Vértices: obtidos tomando
Eixos principais: direção do eixo z para as folhas, e nas direções x e y as secções são elipses.
Passo 5
Resposta
Equação reduzida:
Nome: hiperbolóide de duas folhas, com eixo ao longo de z.
Principais elementos:
Centro em ;
Vértices em e
;
Eixos principais paralelos aos eixos coordenados (folhas abertas ao longo de z).
Principais elementos:
Centro em
Vértices em
Eixos principais paralelos aos eixos coordenados (folhas abertas ao longo de z).