Questão 4.(3.0pt) ESCOLHA e RESOLVA 2 ítens.
Descreva (eq reduzida, nome, principais elementos) o lugar geométrico dos pontos (x, y, z) tais que 4 x^2+2 y^2-z^2+4 x+4 y+2 z+6=0.

Passo 1

O enunciado pede para reconhecer e descrever o lugar geométrico dado pela superfície quádrupla
4x^2+2y^2-z^2+4x+4y+2z+6=0
Isso envolve completar quadrados (teoria de seções cônicas em 3D) e identificar o tipo de quádrupla, sua equação reduzida, nome e principais elementos.

Passo 2

Vamos completar quadrados em cada variável:
Para x:
4x^2+4x=4l(x^2+xr)=4l((x+tfrac12)^2-tfrac14r)=4(x+tfrac12)^2-1
Para y:
2y^2+4y=2l(y^2+2yr)=2l((y+1)^2-1r)=2(y+1)^2-2
Para z:
-,z^2+2z=-l(z^2-2zr)=-l((z-1)^2-1r)=-(z-1)^2+1
Substituindo tudo na equação original e somando constantes:

Passo 3

Reescrevendo e somando os termos independentes:
l[4(x+tfrac12)^2-1r]+l[2(y+1)^2-2r]+l[-(z-1)^2+1r]+6=0
Os termos constantes dão -1-2+1+6=4, logo:
4(x+tfrac12)^2+2(y+1)^2-(z-1)^2+4=0
Passando 4 para o outro lado e dividindo por 4:
(z-1)^24-(x+tfrac12)^21-(y+1)^22=1

Passo 4

Da equação reduzida
(z-1)^24-(x+tfrac12)^21-(y+1)^22=1
vemos que se trata de um hiperbolóide de duas folhas, com eixo principal paralelo ao eixo z.
Centro: (x0,y0,z0)=(-tfrac12,-1,1).
Vértices: obtidos tomando x+tfrac12=0 e y+1=0, dando (z-1)^2/4=1, isto é z-1=pm2. Assim os vértices são
( -tfrac12,-1,3) e ( -tfrac12,-1,-1).
Eixos principais: direção do eixo z para as folhas, e nas direções x e y as secções são elipses.

Passo 5

Resposta

Equação reduzida:
(z-1)^24-(x+tfrac12)^21-(y+1)^22=1
Nome: hiperbolóide de duas folhas, com eixo ao longo de z.
Principais elementos:
Centro em (-tfrac12,-1,1);
Vértices em (-tfrac12,-1,3) e (-tfrac12,-1,-1);
Eixos principais paralelos aos eixos coordenados (folhas abertas ao longo de z).

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