Em cada um dos casos abaixo, determine se os vetores u, v e w formam um conjunto ortogonal, ortonormal ou nenhum dos dois.
© u=(2 / 7,6 / 7,3 / 7), v=(3 / 7,2 / 7,-6 / 7) e w=(6 / 7,-3 / 7,2 / 7)

Passo 1

O enunciado pede para, dado o conjunto de vetores u=(2/7,6/7,3/7), v=(3/7,2/7,-6/7) e w=(6/7,-3/7,2/7), determinar se eles formam um conjunto ortogonal, ortonormal ou nenhum dos dois. Vamos usar conceitos de produto interno e norma de vetores em R^3.

Passo 2

Para verificar ortogonalidade, calculamos os produtos internos entre cada par de vetores. Usamos a definição ucdot v=sumi=1^3 ui vi:
Calculando ucdot v:
ucdot v=27cdot37+67cdot27+37cdotl(-tfrac67r) =6+12-1849=0
Calculando ucdot w:
ucdot w=27cdot67+67cdotl(-tfrac37r)+37cdot27 =12-18+649=0
Calculando vcdot w:
vcdot w=37cdot67+27cdotl(-tfrac37r)+l(-tfrac67r)cdot27 =18-6-1249=0
Todos os produtos internos são zero, logo os vetores são mutuamente perpendiculares.

Passo 3

Agora conferimos as normas para ver se são unitárias. A norma de u é
|u|=raizl(tfrac27r)^2+l(tfrac67r)^2+l(tfrac37r)^2 =raiz4+36+949=raiz1=1
De forma análoga, calcula-se |v|=1 e |w|=1, pois cada soma de quadrados no numerador também é 49.

Passo 4

Como os vetores são mutuamente perpendiculares (ortogonais) e cada um tem norma 1, concluímos que o conjunto é ortonormal.

Resposta

O conjunto u,v,w é ortonormal.

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