Exercício 11 Sejam A e B suas bases em um espaço vetorial V de dimensão n. Mostre que [S]A, B tem determinante não nulo e que [S]B, A=[S]A, B^-1.

Passo 1

O enunciado: temos um espaço vetorial V de dimensão n com duas bases A e B e o operador S:V→V (a aplicação identidade). Queremos mostrar que a matriz de mudança de coordenadas [S]{A,B} é invertível (det≠0) e que a matriz inversa é exatamente [S]{B,A}. Vamos usar teoria de transformações lineares, mudança de base e propriedades de determinação e inversão de matrizes.

Passo 2

Como S é a aplicação identidade, ela é bijetora (logo invertível). Pela teoria, um operador linear é invertível se e somente se sua matriz em quaisquer bases também for invertível. Portanto, [S]_{A,B} é invertível e tem determinante não nulo, ou seja, .

Passo 3

Para qualquer transformação linear T invertível, vale a relação entre a matriz de T e a matriz de sua inversa: [T^-1]D,C=([T]C,D)^-1. Aqui, tomando T=S e as bases C=A, D=B, obtemos [S^-1]B,A=([S]A,B)^-1.

Passo 4

Como S é a identidade, temos S^{-1}=S. Substituindo, concluímos que [S]B,A=([S]A,B)^-1, o que mostra que a matriz de mudança de base de B para A é a inversa da de A para B.

Resposta

e det([S]A,B])neq0.

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