Exercício 11 Sejam
e
suas bases em um espaço vetorial
de dimensão
. Mostre que
tem determinante não nulo e que
.
Passo 1
O enunciado: temos um espaço vetorial V de dimensão n com duas bases A e B e o operador S:V→V (a aplicação identidade). Queremos mostrar que a matriz de mudança de coordenadas [S]{A,B} é invertível (det≠0) e que a matriz inversa é exatamente [S]{B,A}. Vamos usar teoria de transformações lineares, mudança de base e propriedades de determinação e inversão de matrizes.
Passo 2
Como S é a aplicação identidade, ela é bijetora (logo invertível). Pela teoria, um operador linear é invertível se e somente se sua matriz em quaisquer bases também for invertível. Portanto, [S]_{A,B} é invertível e tem determinante não nulo, ou seja, .
Passo 3
Para qualquer transformação linear T invertível, vale a relação entre a matriz de T e a matriz de sua inversa:
. Aqui, tomando T=S e as bases C=A, D=B, obtemos
.
Passo 4
Como S é a identidade, temos S^{-1}=S. Substituindo, concluímos que
, o que mostra que a matriz de mudança de base de B para A é a inversa da de A para B.
Resposta
e
.