Mostre que não possível uma matriz real do tipo
A=(lll a & 0 & 0 b & 1 & 0 0 & a & a )
representar um operador ortogonal.

Passo 1

O exercício pede para mostrar que a matriz
A= a & 0 & 0 b & 1 & 0 0 & a & a
não pode ser ortogonal. O conteúdo aqui é a definição de matriz ortogonal, que diz que
A^T A = I
ou equivalentemente que as colunas de A são vetores ortonormais.

Passo 2

Para usar a definição de ortogonalidade, vamos chamar as colunas de A de c1, c2, c3:
c1=ab0, c2=01a, c3=00a
Elas devem satisfazer
  1. cicdot cj=0 para ineq j,
  2. | ci|=1 para todo i.

Passo 3

Do produto interno entre c1 e c2 temos
c1cdot c2 = acdot0 + bcdot1 + 0cdot a = b
Pela ortogonalidade de colunas isso precisa ser zero, logo
b=0

Passo 4

Da norma de c2 temos
| c2|^2 = 0^2 + 1^2 + a^2 = 1 + a^2
Para ser unitária, deve valer | c2|^2=1, portanto
1 + a^2 = 1 Longrightarrow a^2 = 0 Longrightarrow a = 0

Passo 5

Finalmente, da norma de c1 teríamos
| c1|^2 = a^2 + b^2 + 0^2 = 0^2 + 0^2 = 0,
mas para ser unitária precisaria dar 1. Isso nos leva à contradição
0 = 1
Portanto não é possível satisfazer todas as condições de ortogonalidade.

Resposta

Não existem valores reais de a e b que façam A ortogonal, pois as equações de ortogonalidade levam à contradição 0=1.

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