Mostre que não possível uma matriz real do tipo
representar um operador ortogonal.
Passo 1
O exercício pede para mostrar que a matriz
não pode ser ortogonal. O conteúdo aqui é a definição de matriz ortogonal, que diz que
ou equivalentemente que as colunas de
Passo 2
Para usar a definição de ortogonalidade, vamos chamar as colunas de
A de
c1, c2, c3 :
Elas devem satisfazer
-
paracicdot cj=0 ,ineq j -
para todo| ci|=1 .i
Passo 3
Do produto interno entre
c1 e
c2 temos
Pela ortogonalidade de colunas isso precisa ser zero, logo
Passo 4
Da norma de
c2 temos
Para ser unitária, deve valer
| c2|^2=1 , portanto
Passo 5
Finalmente, da norma de
c1 teríamos
mas para ser unitária precisaria dar 1. Isso nos leva à contradição
Portanto não é possível satisfazer todas as condições de ortogonalidade.
Resposta
Não existem valores reais de
a e
b que façam
A ortogonal, pois as equações de ortogonalidade levam à contradição
0=1 .