Determine se S é um subespaço vetorial de V nos seguintes casos:
e
.
Passo 1
A questão pede pra gente ver se o conjunto S = {(x,y) ∈ ℝ² ; x + y = 0} é um subespaço vetorial de V = ℝ². O conteúdo aqui é definição de subespaço vetorial: precisamos checar três propriedades—(i) o vetor zero está em S, (ii) S é fechado sob soma e (iii) S é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Um subespaço vetorial deve conter o vetor zero. O vetor zero de ℝ² é (0,0). Vamos ver se (0,0) satisfaz a equação de S:
(0,0) ∈ S se e só se 0 + 0 = 0, o que é verdade. Logo, o vetor zero pertence a S.
(0,0) ∈ S se e só se 0 + 0 = 0, o que é verdade. Logo, o vetor zero pertence a S.
Passo 3
Agora testamos a fechamento sob soma. Se u = (x₁,y₁) e v = (x₂,y₂) estão em S, então x₁ + y₁ = 0 e x₂ + y₂ = 0. A soma é u + v = (x₁ + x₂, y₁ + y₂). Vamos checar se (x₁ + x₂) + (y₁ + y₂) = 0:
Somando, temos (x₁ + x₂) + (y₁ + y₂) = (x₁ + y₁) + (x₂ + y₂) = 0 + 0 = 0. Portanto u + v ∈ S, ou seja, S é fechado sob adição.
Somando, temos (x₁ + x₂) + (y₁ + y₂) = (x₁ + y₁) + (x₂ + y₂) = 0 + 0 = 0. Portanto u + v ∈ S, ou seja, S é fechado sob adição.
Passo 4
Por fim, testamos fechamento sob multiplicação escalar. Seja α ∈ ℝ e u = (x,y) ∈ S, com x + y = 0. Então αu = (αx, αy). Vamos ver se αx + αy = 0:
Como αx + αy = α(x + y) = α·0 = 0, concluímos que αu ∈ S. Assim, S é fechado sob multiplicação escalar.
Como αx + αy = α(x + y) = α·0 = 0, concluímos que αu ∈ S. Assim, S é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 5
Como todas as três propriedades estão satisfeitas, podemos afirmar que S é de fato um subespaço vetorial de ℝ².
Resposta
S é um subespaço vetorial de V.