Considere operadores descritos por matrizes reais do tipo
(ll a & b c & a )
(A) Determine a condição sobre os parâmetros a, b, c para que o operador seja auto-adjunto.
(B) Mostre que, sob essa condição, os auto-valores do operador são sempre reais.

Passo 1

Estamos lidando com uma matriz 2×2 real do tipo A=a & bc & a. O conteúdo é teoria de operadores auto-adjuntos (simetria em matrizes reais) e cálculo de autovalores via polinômio característico.

Passo 2

Para matrizes reais com o produto interno usual, o adjunto A^* é igual à transposta A^T. Assim, a condição de auto-adjunta é
A = A^T
o que implica que os elementos fora da diagonal devem coincidir.

Passo 3

Igualando A e A^T obtemos
a & bc & a= a & cb & a
Logo, a única condição não-trivial é b = c.

Passo 4

Sob b=c, o polinômio característico de A é
det(A-lambda I)=(a-lambda)^2 - b^2 = 0
Resolvendo, vem
lambda = a pm b
que são números reais sempre que a e b forem reais.

Resposta

A condição é b = c. Sob essa condição, os autovalores são lambda = a pm b, que são reais.

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