Considere operadores descritos por matrizes reais do tipo
(A) Determine a condição sobre os parâmetros
para que o operador seja auto-adjunto.
(B) Mostre que, sob essa condição, os auto-valores do operador são sempre reais.
(B) Mostre que, sob essa condição, os auto-valores do operador são sempre reais.
Passo 1
Estamos lidando com uma matriz 2×2 real do tipo
. O conteúdo é teoria de operadores auto-adjuntos (simetria em matrizes reais) e cálculo de autovalores via polinômio característico.
Passo 2
Para matrizes reais com o produto interno usual, o adjunto
é igual à transposta
. Assim, a condição de auto-adjunta é
o que implica que os elementos fora da diagonal devem coincidir.
Passo 3
Igualando
e
obtemos
Logo, a única condição não-trivial é
.
Passo 4
Sob
, o polinômio característico de
é
Resolvendo, vem
que são números reais sempre que
e
forem reais.
Resposta
A condição é
. Sob essa condição, os autovalores são
, que são reais.