Em cada um dos casos abaixo encontre a equação do plano pi.
O plano pi é perpendicular a cada um dos planos x-y-2z=0 e 2x+y-4z-5=0 e contém o ponto A=(4,0,-2).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano pi que é perpendicular aos planos
x - y - 2z = 0
e
2x + y - 4z - 5 = 0
e que contém o ponto A=(4,0,-2). O conteúdo é geometria espacial: a normal de pi deve ser ortogonal às normais dos dois planos dados, e depois usamos a equação geral de um plano que passa por um ponto.

Passo 2

Identificamos as normais dos dois planos dados. Para
P1:;x - y - 2z = 0
temos n1 = (1,-1,-2). Para
P2:;2x + y - 4z -5 = 0
temos n2 = (2,1,-4).

Passo 3

Como pi é perpendicular a P1 e a P2, sua normal n precisa satisfazer
ncdotn1 = 0 e ncdotn2 = 0
Um modo direto de achar n é calcular o produto vetorial n1timesn2, que já é ortogonal a ambos.

Passo 4

Calculamos o produto vetorial:
n = n1 times n2 = i & j & k 1 & -1 & -2 2 & 1 & -4 = (6,,0,,3)
Podemos simplificar a normal dividindo por 3:
n = (2,,0,,1)

Passo 5

A equação de um plano com normal n=(2,0,1) que passa por A=(4,0,-2) vem de
2(x-4) + 0,(y-0) + 1,(z+2) = 0
Desenvolvendo:
2x - 8 + z + 2 = 0 Longrightarrow 2x + z - 6 = 0

Resposta

A equação de pi é
2x + z - 6 = 0

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