Considere o triângulo cujos vértices são os pontos A(3,2,1), B(3,2,2) e C(3,3,2). Determine:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá os vértices de um triângulo no espaço tridimensional: A(3,2,1) , B(3,2,2) e C(3,3,2) . O conteúdo aqui envolve geometria analítica no espaço. Para resolver, vamos precisar calcular as distâncias entre os pontos para encontrar os lados do triângulo e, a partir daí, determinar suas propriedades, como perímetro e área.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as distâncias entre os pontos A, B e C. A fórmula para a distância entre dois pontos no espaço é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
Vamos calcular:
Distância AB:
dAB = raiz(3-3)^2 + (2-2)^2 + (2-1)^2 = raiz0 + 0 + 1 = raiz1 = 1
Distância AC:
dAC = raiz(3-3)^2 + (3-2)^2 + (2-1)^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2 approx 1,414
Distância BC:
dBC = raiz(3-3)^2 + (3-2)^2 + (2-2)^2 = raiz0 + 1 + 0 = raiz1 = 1

Passo 3

Agora que temos os comprimentos dos lados:
  • AB = 1
  • AC approx 1,414
  • BC = 1
Podemos ver que dois lados são iguais ( AB = BC = 1 ), então o triângulo é isósceles.

Passo 4

Vamos calcular o perímetro do triângulo, que é a soma dos comprimentos dos lados:
Perímetro = AB + AC + BC = 1 + 1,414 + 1 = 3,414 í

Passo 5

Para encontrar a área do triângulo, podemos usar a fórmula de Herão, que é útil quando conhecemos os três lados:
Primeiro, calculamos o semiperímetro ( s ):
s = AB + AC + BC2 = 1 + 1,414 + 12 = 3,4142 = 1,707
Agora, aplicamos a fórmula de Herão:
Área = raizs(s - AB)(s - AC)(s - BC) = raiz1,707(1,707 - 1)(1,707 - 1,414)(1,707 - 1) Á
Calculando cada parte:
Área = raiz1,707 times 0,707 times 0,293 times 0,707 approx raiz1,707 times 0,707 times 0,293 times 0,707 approx raiz0,250 approx 0,5 Á

Resposta

O triângulo formado pelos pontos A(3,2,1) , B(3,2,2) e C(3,3,2) é isósceles, com perímetro aproximadamente 3,414 unidades e área de aproximadamente 0,5 unidades quadradas.

Exercícios relacionados