Para cada uma das equações abaixo decida se a cônica
determinada pela equação é degenerada ou não. Nos casos em que não são degeneradas encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a cônica
e pede para decidir se ela é degenerada. Se não for, queremos achar os vértices, os focos e esboçar o gráfico. O conteúdo envolve identificação de cônicas por completamento de quadrado.
Passo 2
Começamos dividindo ambos os lados por
e agrupando os termos em
e
:
Agora completamos quadrados:
Substituindo de volta:
Passo 3
A equação final é
que é a equação de uma circunferência de centro
e raio
Logo, a cônica não é degenerada.
Passo 4
Numa circunferência, podemos identificar “vértices” nos quatro pontos cardeais em relação ao centro:
Para uma circunferência a distância focal
satisfaz
com
, logo
. Isso significa que há um foco duplo que coincide com o centro:
Passo 5
Esboço do gráfico: uma circunferência centrada em
com raio
. Marque os quatro vértices acima e desenhe o círculo.
Resposta
A cônica não é degenerada. Trata-se de uma circunferência de
centro e raio
.
Vértices:
e
.
Foco duplo em .
Gráfico: circunferência centrada em , raio
.
centro
Vértices:
Foco duplo em
Gráfico: circunferência centrada em