Para cada uma das equações abaixo decida se a cônica C determinada pela equação é degenerada ou não. Nos casos em que não são degeneradas encontre os vértices (ou vértice), os focos (ou foco) e esboce o gráfico.
9x^2-18x+9y^2-6y=10

Passo 1

O enunciado dá a cônica
9x^2-18x+9y^2-6y=10
e pede para decidir se ela é degenerada. Se não for, queremos achar os vértices, os focos e esboçar o gráfico. O conteúdo envolve identificação de cônicas por completamento de quadrado.

Passo 2

Começamos dividindo ambos os lados por 9 e agrupando os termos em x e y:
x^2-2x ;+; y^2-tfrac23y ;=;tfrac109
Agora completamos quadrados:
x^2-2x = (x-1)^2-1, y^2-tfrac23y = l(y-tfrac13r)^2-tfrac19
Substituindo de volta:
(x-1)^2-1 ;+;l(y-tfrac13r)^2-tfrac19 =tfrac109 ;implies; (x-1)^2+l(y-tfrac13r)^2 =tfrac109+l(1+tfrac19r) =tfrac209

Passo 3

A equação final é
(x-1)^2+l(y-tfrac13r)^2=tfrac209,
que é a equação de uma circunferência de centro l(1,tfrac13r) e raio
r = raiztfrac209 = tfracraiz203
Logo, a cônica não é degenerada.

Passo 4

Numa circunferência, podemos identificar “vértices” nos quatro pontos cardeais em relação ao centro:
l(1pmtfracraiz203,,tfrac13r) e l(1,,tfrac13pmtfracraiz203r)
Para uma circunferência a distância focal c satisfaz c^2=a^2-b^2 com a=b, logo c=0. Isso significa que há um foco duplo que coincide com o centro:
foco: l(1,tfrac13r)

Passo 5

Esboço do gráfico: uma circunferência centrada em l(1,tfrac13r) com raio tfracraiz203. Marque os quatro vértices acima e desenhe o círculo.

Resposta

A cônica não é degenerada. Trata-se de uma circunferência de
centro l(1,tfrac13r) e raio tfracraiz203.
Vértices:
l(1pmtfracraiz203,,tfrac13r) e
l(1,,tfrac13pmtfracraiz203r).
Foco duplo em l(1,tfrac13r).
Gráfico: circunferência centrada em (1,tfrac13), raio tfracraiz203.

Exercícios relacionados