Em cada um dos casos abaixo, a partir de uma base \beta, determine uma base ortonormal para o espaço vetorial \mathbb{V} munido com um produto interno \langle\cdot, \cdot\rangle.
\mathbb{V}=\mathbb{P}_{1}([0,1]),\langle f, g\rangle=\int_{0}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x e \left.\beta=\{2 x, 1+x\}\right\}.

Passo 1

O que o problema pede: a partir da base \beta=\{2x,\;1+x\} do espaço vetorial \mathbb{V}=\mathbb{P}_1([0,1]) com produto interno
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{1} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x,
determinar uma base ortonormal de \mathbb{V}.
Informações dadas e itens importantes:
  • O espaço \mathbb{V} é o espaço dos polinômios de grau \le 1 em [0,1].
  • A base inicial é \beta=\{v_1=2x,\;v_2=1+x\}.
  • O produto interno entre duas funções é a integral do produto no intervalo [0,1].
  • Precisamos produzir dois vetores ortonormais \{e_1,e_2\} que formem base de \mathbb{V}.

Passo 2

Qual método vou usar e por quê (explicação didática do método): vou aplicar o processo de Gram–Schmidt adaptado a um espaço com produto interno. Esse processo transforma uma base linearmente independente \{v_1,v_2,\dots\} em uma base ortonormal \{e_1,e_2,\dots\} através das fórmulas:
u_1=v_1,\qquad e_1=\frac{u_1}{\|u_1\|},
u_k = v_k - \sum_{j=1}^{k-1}\langle v_k,e_j\rangle e_j,\qquad e_k=\frac{u_k}{\|u_k\|}.
Aqui \|u\|=\sqrt{\langle u,u\rangle}. No nosso caso temos só dois vetores, então aplicamos esse processo para v_1=2x e v_2=1+x. Vou calcular passo a passo as integrais que definem \langle\cdot,\cdot\rangle.

Passo 3

Primeiro vetor: v_1=2x. Calcular a norma quadrada \|v_1\|^2=\langle v_1,v_1\rangle:
\|v_1\|^2=\int_{0}^{1} (2x)^2\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{1} 4x^2\,\mathrm{d}x=4\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{4}{3}.
Logo \|v_1\|=\sqrt{\tfrac{4}{3}}=\tfrac{2}{\sqrt{3}}. Normalizando:
e_1=\frac{v_1}{\|v_1\|}=\frac{2x}{2/\sqrt{3}}=\sqrt{3}\,x.
Portanto e_1=\sqrt{3}\,x é unitário.

Passo 4

Agora projetar v_2=1+x sobre e_1. Primeiro calculo o coeficiente \langle v_2,e_1\rangle:
\langle v_2,e_1\rangle=\int_{0}^{1} (1+x)\big(\sqrt{3}\,x\big)\,\mathrm{d}x=\sqrt{3}\int_{0}^{1} (x+x^2)\,\mathrm{d}x.
Calculo a integral:
\int_{0}^{1} (x+x^2)\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}.
Portanto
\langle v_2,e_1\rangle=\sqrt{3}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5\sqrt{3}}{6}.
A projeção de v_2 sobre e_1 é
\mathrm{proj}_{e_1} v_2=\langle v_2,e_1\rangle e_1=\frac{5\sqrt{3}}{6}\cdot\big(\sqrt{3}\,x\big)=\frac{5\cdot 3}{6}\,x=\frac{5}{2}\,x.

Passo 5

Subtraio a projeção para obter o vetor ortogonal u_2:
u_2=v_2-\mathrm{proj}_{e_1} v_2=(1+x)-\frac{5}{2}x=1+x-\frac{5}{2}x=1-\frac{3}{2}x.
Logo u_2=1-\tfrac{3}{2}x é ortogonal a e_1 por construção.

Passo 6

Calculo a norma de u_2. Primeiro expando o quadrado:
(u_2)^2=\left(1-\frac{3}{2}x\right)^2=1-3x+\frac{9}{4}x^2.
Agora integro para obter \|u_2\|^2:
\|u_2\|^2=\int_{0}^{1}\left(1-3x+\frac{9}{4}x^2\right)\mathrm{d}x=\left[x-\frac{3}{2}x^2+\frac{9}{12}x^3\right]_0^1.
Avalio em 1:
\|u_2\|^2=1-\frac{3}{2}+\frac{9}{12}=1-\frac{3}{2}+\frac{3}{4}=1-1{,}5+0{,}75=0{,}25=\frac{1}{4}.
Portanto \|u_2\|=\frac{1}{2}.

Passo 7

Normalizando u_2 para obter e_2:
e_2=\frac{u_2}{\|u_2\|=\tfrac{1}{2}}=2\left(1-\frac{3}{2}x\right)=2-3x.
Verificação rápida (opcional, para a confiança): \langle e_2,e_2\rangle=\int_{0}^{1}(2-3x)^2\mathrm{d}x=1 e \langle e_1,e_2\rangle=\sqrt{3}\int_{0}^{1} x(2-3x)\mathrm{d}x=0, então os vetores são ortonormais.

Passo 8

Conclusão: a base ortonormal obtida pelo processo de Gram–Schmidt é \{e_1,e_2\} com os vetores calculados.

Resposta

\{\sqrt{3}\,x,\;2-3x\}

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