Em cada um dos casos abaixo, a partir de uma base
, determine uma base ortonormal para o espaço vetorial
munido com um produto interno
.
e
.
Passo 1
O que o problema pede: a partir da base
do espaço vetorial
com produto interno
determinar uma base ortonormal de
.
Informações dadas e itens importantes:
- O espaço
é o espaço dos polinômios de grau em . - A base inicial é
. - O produto interno entre duas funções é a integral do produto no intervalo
. - Precisamos produzir dois vetores ortonormais
que formem base de .
Passo 2
Qual método vou usar e por quê (explicação didática do método): vou aplicar o processo de Gram–Schmidt adaptado a um espaço com produto interno. Esse processo transforma uma base linearmente independente
em uma base ortonormal
através das fórmulas:
Aqui
. No nosso caso temos só dois vetores, então aplicamos esse processo para
e
. Vou calcular passo a passo as integrais que definem
.
Passo 3
Primeiro vetor:
. Calcular a norma quadrada
:
Logo
. Normalizando:
Portanto
é unitário.
Passo 4
Agora projetar
sobre
. Primeiro calculo o coeficiente
:
Calculo a integral:
Portanto
A projeção de
sobre
é
Passo 5
Subtraio a projeção para obter o vetor ortogonal
:
Logo
é ortogonal a
por construção.
Passo 6
Calculo a norma de
. Primeiro expando o quadrado:
Agora integro para obter
:
Avalio em
:
Portanto
.
Passo 7
Normalizando
para obter
:
Verificação rápida (opcional, para a confiança):
e
, então os vetores são ortonormais.
Passo 8
Conclusão: a base ortonormal obtida pelo processo de Gram–Schmidt é
com os vetores calculados.