Em cada um dos casos abaixo, verifique se a função dada é diferenciável na origem:
© f(x, y) = { (x^2 - y^2) / (x^2 + y^2), 0 }
se (x, y) != (0, 0)
se (x, y) = (0, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a função dada é diferenciável na origem. A função que estamos analisando é:
Aqui, estamos lidando com conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam perto do ponto e verificar se elas têm uma boa aproximação linear nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser diferenciável em um ponto, ela primeiro precisa ser contínua nesse ponto. Ou seja, a função não pode “saltitar” ou “quebrar” ali. Então, nosso primeiro passo é verificar se é contínua na origem .

Passo 3

Para verificar a continuidade, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite é igual ao valor da função na origem, que é 0.
Vamos calcular o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se ele existe e é igual a 0.

Passo 4

Primeira abordagem: Vamos aproximar a origem ao longo do eixo , ou seja, definir .
Substituindo na função:
Então, o limite ao longo do eixo é 1.

Passo 5

Segunda abordagem: Agora, vamos aproximar a origem ao longo do eixo , ou seja, definir .
Substituindo na função:
Então, o limite ao longo do eixo é -1.

Passo 6

Análise dos limites: Observamos que os limites ao longo de diferentes caminhos são diferentes:
  • Ao longo de : 1
  • Ao longo de : -1
Como os limites são diferentes, concluímos que o limite geral de quando se aproxima de não existe.

Passo 7

Conclusão sobre a continuidade: Já que o limite não existe, a função não é contínua na origem .

Passo 8

Finalizando com a diferenciabilidade: Para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto. Como não é contínua na origem, não pode ser diferenciável l��.

Resposta

A função não é diferenciável na origem .

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