Em cada um dos casos abaixo, verifique se a função dada é diferenciável na origem:
©
se
se
©
se
se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a função dada é diferenciável na origem. A função que estamos analisando é:
Aqui, estamos lidando com conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam perto do ponto
e verificar se elas têm uma boa aproximação linear nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser diferenciável em um ponto, ela primeiro precisa ser contínua nesse ponto. Ou seja, a função não pode “saltitar” ou “quebrar” ali. Então, nosso primeiro passo é verificar se
é contínua na origem
.
Passo 3
Para verificar a continuidade, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual ao valor da função na origem, que é 0.
Vamos calcular o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se ele existe e é igual a 0.
Passo 4
Primeira abordagem: Vamos aproximar a origem ao longo do eixo
, ou seja, definir
.
Substituindo na função:
Então, o limite ao longo do eixo
é 1.
Passo 5
Segunda abordagem: Agora, vamos aproximar a origem ao longo do eixo
, ou seja, definir
.
Substituindo na função:
Então, o limite ao longo do eixo
é -1.
Passo 6
Análise dos limites: Observamos que os limites ao longo de diferentes caminhos são diferentes:
- Ao longo de
: 1 - Ao longo de
: -1
Como os limites são diferentes, concluímos que o limite geral de
quando
se aproxima de
não existe.
Passo 7
Conclusão sobre a continuidade: Já que o limite não existe, a função
não é contínua na origem
.
Passo 8
Finalizando com a diferenciabilidade: Para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto. Como
não é contínua na origem, não pode ser diferenciável l��.
Resposta
A função
não é diferenciável na origem
.