Calcule.
integral0^1 x^2(1+x^3)^2 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular a integral definida de a da função . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração, especificamente a substituição, que nos ajuda a simplificar integrais mais complicadas.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Observamos que o denominador é u = 1 + x^3 e o numerador contém . Vamos deixar:
Agora, precisamos encontrar em termos de .

Passo 3

Calculamos a derivada de dudx = 3x^2 em relação a dx = du3x^2 :
Então, podemos resolver para :

Passo 4

Substituímos integral x^2u^2 cdot du3x^2 = 13 integral 1u^2 du e na integral original:
Veja que no numerador e denominador se cancelam, simplificando a integral.

Passo 5

Agora, integramos 13 integral u^-2 du = 13 ( -u^-1 ) + C = -13u + C em relação a :
Como estamos lidando com uma integral definida, o termo constante será descartado.

Passo 6

Voltamos à variável original substituindo -13(1 + x^3) :
[ -13(1 + x^3) ]0^1 = ( -13(1 + 1^3) ) - ( -13(1 + 0^3) )
Agora, aplicamos os limites de integração de a :

Passo 7

Calculamos cada parte substituindo os limites:
Para -13(1 + 1) = -16 :
-13(1 + 0) = -13
Para -16 - ( -13 ) = -16 + 13 = 16 :
Agora, subtraímos:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados