Calcule.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular a integral definida de
a
da função
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração, especificamente a substituição, que nos ajuda a simplificar integrais mais complicadas.
Passo 2
Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Observamos que o denominador é
e o numerador contém
. Vamos deixar:
Agora, precisamos encontrar
em termos de
.
Passo 3
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Então, podemos resolver para
:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Veja que
no numerador e denominador se cancelam, simplificando a integral.
Passo 5
Agora, integramos
em relação a
:
Como estamos lidando com uma integral definida, o termo constante
será descartado.
Passo 6
Voltamos à variável original substituindo
:
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Passo 7
Calculamos cada parte substituindo os limites:
Para :
Para
Para
:
Agora, subtraímos:
Resposta
A integral
é igual a
.