Calcule.
integral0^1 x(x+1)^5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com integração definida que faz parte do cálculo integral. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar expressões complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar integral1^2 u - 1u^5 , du . Isso significa que e podemos reescrever como . Com essa substituição, os limites de integração também mudam:
  • Quando , .
  • Quando , .
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos dividir a fração dentro da integral:
u - 1u^5 = uu^5 - 1u^5 = 1u^4 - 1u^5
Assim, a integral fica:
integral1^2 ( 1u^4 - 1u^5 ) , du

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que a integral de integral u^-4 , du = u^-3-3 = -13u^3 é integral u^-5 , du = u^-4-4 = -14u^4 (desde que ).
  • Para , que é :
  • Para , que é :

Passo 5

Agora, vamos substituir de volta os limites de integração:
[ -13u^3 + 14u^4 ]1^2
Primeiro, avaliamos em -13(2)^3 + 14(2)^4 = -124 + 164 :
-13(1)^3 + 14(1)^4 = -13 + 14 = -112
Depois, avaliamos em :

Passo 6

Subtraímos o resultado em ( -124 + 164 ) - ( -112 ) = -124 + 164 + 112 do resultado em - 8192 + 3192 + 16192 = -8 + 3 + 16192 = 11192 :
Para somar essas frações, vamos achar um denominador comum, que é 192:

Resposta

O valor da integral é .

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