Encontre o domínio (o maior possível) e a imagem, o conjunto de zeros, os intervalos de positividade e negatividade, e esboçe o gráfico: f(x) = x^2 - 2x + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o domínio, a imagem, os zeros, os intervalos onde a função é positiva ou negativa e também esboçar o gráfico da função . Vamos trabalhar com o conteúdo de funções quadráticas, que são do tipo . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre domínio, imagem, zeros da função, sinais da função e como desenhar o gráfico de uma parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como nossa função é um polinômio do segundo grau, que não tem restrições como raízes quadradas ou denominadores que podem ser zero, o domínio é todo o conjunto dos números reais. Em notação matemática:
í

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Como estamos lidando com uma parábola que abre para cima (o coeficiente de é positivo), o mínimo valor da função ocorre no vértice. Vamos calcular o vértice para encontrar esse valor mínimo.

Passo 4

Para encontrar o vértice da parábola, usamos a fórmula:
No nosso caso, e , então:
Agora, substituímos na função para encontrar :
Então, o vértice é . Como a parábola abre para cima, a imagem da função é todos os valores de maiores ou iguais a 0:

Passo 5

Vamos encontrar os zeros da função, ou seja, os valores de que fazem . Resolveremos a equação quadrática:
Podemos fatorar essa expressão:
Então, a única solução é:
Portanto, a função tem um zero duplo em .

Passo 6

Agora, vamos determinar os intervalos de positividade e negatividade da função. Sabemos que a parábola abre para cima e seu vértice está em .
  • Para : Como a parábola está subindo antes de chegar ao vértice, é positiva.
  • Para : .
  • Para : A parábola continua subindo, então também é positiva.
Não há intervalos onde a função é negativa.

Passo 7

Por último, vamos esboçar o gráfico da função .
  • Sabemos que é uma parábola que abre para cima.
  • O vértice está em .
  • O único zero da função é em .
  • A função é positiva para todos exceto em .
Então, o gráfico é uma parábola com o ponto mais baixo tocando o eixo em e se estendendo para cima nos dois lados.

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:
  • Zeros da função:
  • Intervalos de positividade: e
  • Intervalos de negatividade: Nenhum
  • Gráfico: Uma parábola que abre para cima com vértice em e tocando o eixo apenas em .

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