Encontre o domínio (o maior possível) e a imagem, o conjunto de zeros, os intervalos de positividade e negatividade, e esboçe o gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o domínio, a imagem, os zeros, os intervalos onde a função é positiva ou negativa e também esboçar o gráfico da função
. Vamos trabalhar com o conteúdo de funções quadráticas, que são do tipo
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre domínio, imagem, zeros da função, sinais da função e como desenhar o gráfico de uma parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como nossa função é um polinômio do segundo grau, que não tem restrições como raízes quadradas ou denominadores que podem ser zero, o domínio é todo o conjunto dos números reais. Em notação matemática:
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Como estamos lidando com uma parábola que abre para cima (o coeficiente de
é positivo), o mínimo valor da função ocorre no vértice. Vamos calcular o vértice para encontrar esse valor mínimo.
Passo 4
Para encontrar o vértice da parábola, usamos a fórmula:
No nosso caso,
e
, então:
Agora, substituímos
na função para encontrar
:
Então, o vértice é
. Como a parábola abre para cima, a imagem da função é todos os valores de
maiores ou iguais a 0:
Passo 5
Vamos encontrar os zeros da função, ou seja, os valores de
que fazem
. Resolveremos a equação quadrática:
Podemos fatorar essa expressão:
Então, a única solução é:
Portanto, a função tem um zero duplo em
.
Passo 6
Agora, vamos determinar os intervalos de positividade e negatividade da função. Sabemos que a parábola abre para cima e seu vértice está em
.
-
Para
: Como a parábola está subindo antes de chegar ao vértice, é positiva. -
Para
: . -
Para
: A parábola continua subindo, então também é positiva.
Não há intervalos onde a função é negativa.
Passo 7
Por último, vamos esboçar o gráfico da função
.
- Sabemos que é uma parábola que abre para cima.
- O vértice está em
. - O único zero da função é em
. - A função é positiva para todos
exceto em .
Então, o gráfico é uma parábola com o ponto mais baixo tocando o eixo
em
e se estendendo para cima nos dois lados.
Resposta
- Domínio:
- Imagem:
- Zeros da função:
- Intervalos de positividade:
e - Intervalos de negatividade: Nenhum
- Gráfico: Uma parábola que abre para cima com vértice em
e tocando o eixo apenas em .