Em cada um dos casos abaixo, verifique se o operador T é auto-adjunto, sabendo que a matriz de R^3 em relação à base canônica de ccc2 & 2 & 0 2 & -1 & 0 0 & 0 & 2 é a seguinte:
(a)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o operador linear T:R^3toR^3 é auto-adjunto, dado que sua matriz na base canônica é
A=2 & 2 & 02 & -1 & 00 & 0 & 2
Para isso, vamos usar o conteúdo de operadores auto-adjuntos e matrizes simétricas.

Passo 2

Em R^n com o produto interno usual, um operador T é auto-adjunto se e somente se sua matriz A satisfaz A=A^T. Isso significa que cada elemento aij deve coincidir com aji.

Passo 3

Vamos calcular a transposta de A:
A^T=2 & 2 & 02 & -1 & 00 & 0 & 2
Note que trocamos linhas por colunas, mas os valores permanecem os mesmos.

Passo 4

Ao comparar A com A^T, vemos que todos os elementos correspondentes são iguais (por exemplo, a12=2=a21, a13=0=a31 e assim por diante). Portanto, A=A^T, logo T é auto-adjunto.

Resposta

Sim. O operador é auto-adjunto, pois sua matriz é simétrica (igual à sua transposta).

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