Reduzir à forma diagonal pelo processo de Gauss as seguintes formas quadrticas de R^2.
© x1 ^2-x2 ^2-2 x1 x2

Passo 1

O enunciado pede para reduzir à forma diagonal pelo processo de Gauss a forma quadrática em R^2 dada por Q(x1,x2)=x1^2 - x2^2 - 2x1x2. O conteúdo é diagonalização de formas quadráticas, usando mudança de variáveis (ou completamento de quadrados).

Passo 2

Representamos a forma Q pela matriz simétrica associada. Os coeficientes são: coeficiente de x1^2 é 1, de x2^2 é -1 e de x1x2 é -2, o que gera a matriz
A=1 & -1-1 & -1

Passo 3

Para eliminar o termo misto -2x1x2, fazemos completamento de quadrado em x1. Note que
x1^2 - 2x1x2 = (x1 - x2)^2 - x2^2

Passo 4

Substituindo esse resultado em Q temos
Q = (x1 - x2)^2 - x2^2 - x2^2 = (x1 - x2)^2 - 2x2^2

Passo 5

Definimos a nova base (mudança de variáveis)
y1 = x1 - x2, y2 = x2

Passo 6

Na coordenadas (y1,y2), a forma fica sem termos mistos e diagonal:
Q = y1^2 - 2y2^2

Resposta

A forma quadrática se reduz a
y1^2 - 2y2^2
com a mudança de variáveis
y1 = x1 - x2,; y2 = x2.

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