Seja V um espaço vetorial euclidiano e W subset V um subespaço. Para cada v in V, considere v=w1+w2, onde w1 in W e w2 in W^perp.
(a) Mostre que T: V V dada por T(v)=w1-w2 é um operador linear auto-adjunto.
(b) Se V=R^3, com o produto interno usual, e W=[(1,1,0)], ache a matriz de T relativa à base canônica do R^3.

Passo 1

A questão pede para mostrar que, em um espaço euclidiano V com subespaço W, o operador T definido por T(v)=w₁−w₂ (onde v=w₁+w₂ com w₁∈W e w₂∈W⊥) é linear e auto-adjunto (parte a), e depois, em V=ℝ³ com W=span{(1,1,0)}, ache a matriz de T na base canônica (parte b). Vamos usar decomposição ortogonal, projeção e definição de operador auto-adjunto.

Passo 2

Para mostrar que T é linear, note que a decomposição v=w₁+w₂ é única e compatível com soma e escalar. Se v=w₁+w₂ e u=u₁+u₂, então αv+βu=(αw₁+βu₁)+(αw₂+βu₂) com αw₁+βu₁∈W e αw₂+βu₂∈W⊥. Assim
T(αv+βu)=(αw₁+βu₁)-(αw₂+βu₂)=α(w₁-w₂)+β(u₁-u₂)=αT(v)+βT(u)

Passo 3

Para ver que T é auto-adjunto, use a definição ⟨T(v),u⟩=⟨v,T(u)⟩. Escrevendo v=w₁+w₂ e u=u₁+u₂, com w₁,u₁ em W e w₂,u₂ em W⊥, temos
⟨T(v),u⟩=⟨w₁-w₂,u₁+u₂⟩=⟨w₁,u₁⟩-⟨w₂,u₂⟩,
e
⟨v,T(u)⟩=⟨w₁+w₂,u₁-u₂⟩=⟨w₁,u₁⟩-⟨w₂,u₂⟩,
onde aproveitamos que W⊥ é ortogonal a W. Como os resultados coincidem, T é auto-adjunto.

Passo 4

Agora em ℝ³ com W=span{u}, u=(1,1,0). A projeção ortogonal em W é
PW(v)=⟨v,u⟩⟨u,u⟩,u

Passo 5

Para v=(x,y,z) temos ⟨v,u⟩=x+y e ⟨u,u⟩=2, então
PW(x,y,z)=x+y2(1,1,0)

Passo 6

Como T=2P_W−I, segue
T(x,y,z)=2,PW(x,y,z)-(x,y,z)=(x+y)(1,1,0)-(x,y,z)=(y,x,-z)

Passo 7

Finalmente, aplicando T aos vetores da base canônica:
T(e1)=T(1,0,0)=(0,1,0),
T(e2)=T(0,1,0)=(1,0,0),
T(e3)=T(0,0,1)=(0,0,-1)

Passo 8

Logo a matriz de T na base canônica tem colunas T(e₁),T(e₂),T(e₃).

Resposta

0 & 1 & 01 & 0 & 00 & 0 & -1

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