Seja
um espaço vetorial euclidiano e
um subespaço. Para cada
, considere
, onde
e
.
(a) Mostre que
dada por
é um operador linear auto-adjunto.
(b) Se
, com o produto interno usual, e
, ache a matriz de
relativa à base canônica do
.
(a) Mostre que
(b) Se
Passo 1
A questão pede para mostrar que, em um espaço euclidiano V com subespaço W, o operador T definido por T(v)=w₁−w₂ (onde v=w₁+w₂ com w₁∈W e w₂∈W⊥) é linear e auto-adjunto (parte a), e depois, em V=ℝ³ com W=span{(1,1,0)}, ache a matriz de T na base canônica (parte b). Vamos usar decomposição ortogonal, projeção e definição de operador auto-adjunto.
Passo 2
Para mostrar que T é linear, note que a decomposição v=w₁+w₂ é única e compatível com soma e escalar. Se v=w₁+w₂ e u=u₁+u₂, então αv+βu=(αw₁+βu₁)+(αw₂+βu₂) com αw₁+βu₁∈W e αw₂+βu₂∈W⊥. Assim
Passo 3
Para ver que T é auto-adjunto, use a definição
. Escrevendo v=w₁+w₂ e u=u₁+u₂, com w₁,u₁ em W e w₂,u₂ em W⊥, temos
e
onde aproveitamos que W⊥ é ortogonal a W. Como os resultados coincidem, T é auto-adjunto.
Passo 4
Agora em ℝ³ com W=span{u}, u=(1,1,0). A projeção ortogonal em W é
Passo 5
Para v=(x,y,z) temos ⟨v,u⟩=x+y e ⟨u,u⟩=2, então
Passo 6
Como T=2P_W−I, segue
Passo 7
Finalmente, aplicando T aos vetores da base canônica:
Passo 8
Logo a matriz de T na base canônica tem colunas T(e₁),T(e₂),T(e₃).