Determine a projeção ortogonal do vetor v in V sobre o subespaço W de V em cada um dos casos abaixo.
© v(t)=2 t-1 in P2(R), W=[t], com o produto interno em (4)(b).

Passo 1

A questão pede a projeção ortogonal de v(t)=2t-1 no subespaço W=spant de P2( R), usando o produto interno de (4)(b). Para isso vamos usar a fórmula de projeção em espaços com produto interno.

Passo 2

A fórmula geral da projeção de v sobre W=spanw é
projW(v)=lang<= v,wrang<=lang<= w,wrang<=,w

Passo 3

Pelo enunciado (4)(b) temos o produto interno
lang<= p,qrang<==integral0^1p(t),q(t),dt

Passo 4

Vamos calcular primeiro
lang<= v,trang<==integral0^1(2t-1),t,dt=integral0^1(2t^2-t),dt =[2t^33-t^22]0^1=23-12=16

Passo 5

Agora calculamos
lang<= t,trang<==integral0^1t^2,dt=[t^33]0^1=13

Passo 6

Então o coeficiente da projeção é
lang<= v,trang<=lang<= t,trang<==tfrac16tfrac13=12
e a projeção ortogonal é
projW(v)=12,t

Resposta

tfrac12t

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