Em cada um dos casos abaixo, verifique se o operador T \in L\left(\mathbb{R}^{3}\right) é auto-adjunto, sabendo que a matriz de T em relação à base canônica de \mathbb{R}^{3} é a seguinte:
\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá um operador T\in L(\mathbb{R}^3) cuja matriz na base canônica é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Precisamos verificar se T é auto‐adjunto, ou seja, se A = A^{T}.

Passo 2

Por definição, um operador T é auto‐adjunto se, na base ortonormal (a base canônica é ortonormal em \mathbb{R}^3), sua matriz satisfaz
A = A^{T}.
Em outras palavras, T=T^* se e somente se a_{ij}=a_{ji} para todo i,j.

Passo 3

Vamos transpor A. Como
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},
a transposta A^{T} é obtida trocando linhas por colunas:
A^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Comparando A e A^{T}, vemos que todos os elementos coincidem, ou seja, A = A^{T}. Logo, a matriz é simétrica.

Resposta

Sim, o operador T é auto-adjunto.

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