Escreva a expressão geral de uma forma bilinear simétrica no \mathbb{R}^{2} e no \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a forma bilinear simétrica geral nos espaços \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}.
Sabemos que toda forma bilinear em \mathbb{R}^{n} pode ser escrita como
B(x,y)=x^{T}Ay,
onde A é uma matriz n\times n. A simetria de B implica que A é simétrica, ou seja, A=A^{T}.
Passo 2
No caso de \mathbb{R}^{2}, a matriz simétrica mais geral é
A=\begin{pmatrix} a & b\\\ b & c \end{pmatrix},
com a,b,c\in\mathbb{R}. Seja x=(x_{1},x_{2}) e y=(y_{1},y_{2}). Então
B(x,y)= \begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b\\\ b & c\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_{1}\y_{2}\end{pmatrix} =a\,x_{1}y_{1}+b\,x_{1}y_{2}+b\,x_{2}y_{1}+c\,x_{2}y_{2}.
Passo 3
No caso de \mathbb{R}^{3}, a matriz simétrica mais geral é
A=\begin{pmatrix} a & d & e\\\ d & b & f\\\ e & f & c \end{pmatrix},
com a,b,c,d,e,f\in\mathbb{R}. Seja x=(x_{1},x_{2},x_{3}) e y=(y_{1},y_{2},y_{3}). Então
B(x,y)= \begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & d & e\\\ d & b & f\\\ e & f & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_{1}\y_{2}\y_{3}\end{pmatrix}