Escreva a expressão geral de uma forma bilinear simétrica no \mathbb{R}^{2} e no \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a forma bilinear simétrica geral nos espaços \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}.
Sabemos que toda forma bilinear em \mathbb{R}^{n} pode ser escrita como
B(x,y)=x^{T}Ay,
onde A é uma matriz n\times n. A simetria de B implica que A é simétrica, ou seja, A=A^{T}.

Passo 2

No caso de \mathbb{R}^{2}, a matriz simétrica mais geral é
A=\begin{pmatrix} a & b\\\ b & c \end{pmatrix},
com a,b,c\in\mathbb{R}. Seja x=(x_{1},x_{2}) e y=(y_{1},y_{2}). Então
B(x,y)= \begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b\\\ b & c\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_{1}\y_{2}\end{pmatrix} =a\,x_{1}y_{1}+b\,x_{1}y_{2}+b\,x_{2}y_{1}+c\,x_{2}y_{2}.

Passo 3

No caso de \mathbb{R}^{3}, a matriz simétrica mais geral é
A=\begin{pmatrix} a & d & e\\\ d & b & f\\\ e & f & c \end{pmatrix},
com a,b,c,d,e,f\in\mathbb{R}. Seja x=(x_{1},x_{2},x_{3}) e y=(y_{1},y_{2},y_{3}). Então
B(x,y)= \begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & d & e\\\ d & b & f\\\ e & f & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_{1}\y_{2}\y_{3}\end{pmatrix}
\quad = a\,x_{1}y_{1} + b\,x_{2}y_{2} + c\,x_{3}y_{3} + d\,(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}) + e\,(x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}) + f\,(x_{2}y_{3}+x_{3}y_{2}).

Resposta

Na \mathbb{R}^{2}:
B(x,y)=a\,x_{1}y_{1}+b\,(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})+c\,x_{2}y_{2}.
Na \mathbb{R}^{3}:
B(x,y)=a\,x_{1}y_{1}+b\,x_{2}y_{2}+c\,x_{3}y_{3} +d\,(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}) +e\,(x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}) +f\,(x_{2}y_{3}+x_{3}y_{2}).

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