Questão 4 (+2 pontos) Em um triângulo A B C, o ponto D \in B C é o pé da bissetriz interna relativa a A. Prove que A \hat{D} C-A \hat{D} B=\hat{B}-\hat{C}.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC em que D é o pé da bissetriz interna do ângulo \angle A, ou seja,
\angle CAD = \angle DAB = \tfrac12\angle A.
Queremos provar que
\angle ADC - \angle ADB \;=\;\angle B - \angle C.
Vamos usar a soma dos ângulos internos em cada um dos triângulos ACD e ABD.

Passo 2

No triângulo ACD, a soma dos ângulos internos vale 180^\circ:
\angle ACD + \angle CAD + \angle ADC = 180^\circ.
Mas \angle ACD = \angle C e \angle CAD = \tfrac12\angle A. Logo
\angle ADC = 180^\circ - \angle C - \tfrac12\angle A.

Passo 3

No triângulo ABD, de modo análogo,
\angle ABD + \angle DAB + \angle ADB = 180^\circ.
Aqui \angle ABD = \angle B e \angle DAB = \tfrac12\angle A. Então
\angle ADB = 180^\circ - \angle B - \tfrac12\angle A.

Passo 4

Agora subtraímos as duas expressões:
\angle ADC - \angle ADB = \bigl(180^\circ - \angle C - \tfrac12\angle A\bigr) -\bigl(180^\circ - \angle B - \tfrac12\angle A\bigr) = \angle B - \angle C.
Isso é exatamente o que se pedia.

Resposta

\angle ADC - \angle ADB = \angle B - \angle C.

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