Se os operadores T, S: V \rightarrow V são auto-adjuntos, prove que A B+B A é auto-adjunto. O que se pode dizer sobre A B-B A ?

Passo 1

O enunciado diz que A e B são operadores auto-adjuntos em um espaço com produto interno, isto é,
A^* = A \quad\text{e}\quad B^* = B.
Precisamos mostrar que o operador
C = AB + BA
é auto-adjunto, ou seja, C^* = C. Em seguida, veremos o que ocorre com
D = AB - BA.

Passo 2

Vamos calcular o adjunto de C = AB + BA. Lembrando que (MN)^* = N^* M^* e (M+N)^* = M^* + N^*, temos:
C^* = (AB + BA)^* = (AB)^* + (BA)^* = B^*A^* + A^*B^*.
Como A^* = A e B^* = B, isto dá
C^* = BA + AB = AB + BA = C.
Logo, C é de fato auto-adjunto.

Passo 3

Agora considere D = AB - BA. De modo similar,
D^* = (AB - BA)^* = (AB)^* - (BA)^* = B^*A^* - A^*B^* = BA - AB = -(AB - BA) = -D.
Isto mostra que D é anti–auto-adjunto (ou seja, \emph{skew-adjunto}), pois D^* = -D.

Resposta

AB + BA é auto-adjunto e AB - BA é anti–auto-adjunto.

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