Se os operadores
são auto-adjuntos, prove que
é auto-adjunto. O que se pode dizer sobre
?
Passo 1
O enunciado diz que
e
são operadores auto-adjuntos em um espaço com produto interno, isto é,
Precisamos mostrar que o operador
é auto-adjunto, ou seja,
. Em seguida, veremos o que ocorre com
Passo 2
Vamos calcular o adjunto de
. Lembrando que
e
, temos:
Como
e
, isto dá
Logo,
é de fato auto-adjunto.
Passo 3
Agora considere
. De modo similar,
Isto mostra que
é anti–auto-adjunto (ou seja, \emph{skew-adjunto}), pois
.