Questão 5 ( +2 pontos) Dado um triângulo
, considere um ponto
em
que deixa
entre
e
. Suponha que a bissetriz do ângulo
encontra, no ponto
, a bissetriz do ângulo
(externo a
). Encontre a medida do ângulo
sabendo que
mede
.
Passo 1
Vamos chamar os ângulos internos do triângulo
de
,
e
. O enunciado diz que traçamos a bissetriz interna do ângulo
e a bissetriz externa do ângulo
, e que essas bissetrizes se encontram em
. Também sabemos que
. Vamos usar fatos sobre bissetrizes internas e externas e soma dos ângulos em triângulos.
Passo 2
A bissetriz interna de
divide esse ângulo em duas partes iguais. No triângulo
, o ângulo em
é o formado por
e
, portanto
Passo 3
A bissetriz externa do ângulo
faz, com o lado
(na direção de
), um ângulo de
Assim, no triângulo
,
Passo 4
Nosso triângulo
tem ângulos
,
e
. Como a soma deve dar
,
Passo 5
No triângulo
vale
. Como
, segue