Questão 5 ( +2 pontos) Dado um triângulo A B C, considere um ponto D em \overleftrightarrow{B C} que deixa C entre B e D. Suponha que a bissetriz do ângulo \hat{B} encontra, no ponto E, a bissetriz do ângulo A \hat{C} D (externo a C ). Encontre a medida do ângulo \hat{A} sabendo que B \hat{E} C mede 50^{\circ}.

Passo 1

Vamos chamar os ângulos internos do triângulo ABC de \alpha=\hat A, \beta=\hat B e \gamma=\hat C. O enunciado diz que traçamos a bissetriz interna do ângulo \hat B e a bissetriz externa do ângulo A\hat C D, e que essas bissetrizes se encontram em E. Também sabemos que \angle B\!E\!C=50^\circ. Vamos usar fatos sobre bissetrizes internas e externas e soma dos ângulos em triângulos.

Passo 2

A bissetriz interna de \hat B=\beta divide esse ângulo em duas partes iguais. No triângulo BEC, o ângulo em B é o formado por EB e BC, portanto
\angle EBC = \frac{\beta}{2}.

Passo 3

A bissetriz externa do ângulo \hat C=\gamma faz, com o lado BC (na direção de B), um ângulo de
180^\circ - \frac{180^\circ-\gamma}{2} =90^\circ + \frac{\gamma}{2}.
Assim, no triângulo BEC,
\angle BCE = 90^\circ + \frac{\gamma}{2}.

Passo 4

Nosso triângulo BEC tem ângulos \angle EBC=\tfrac{\beta}{2}, \angle BEC=50^\circ e \angle BCE=90^\circ+\tfrac{\gamma}{2}. Como a soma deve dar 180^\circ,
\frac{\beta}{2} + 50^\circ + \Bigl(90^\circ + \frac{\gamma}{2}\Bigr) = 180^\circ \quad\Longrightarrow\quad \frac{\beta+\gamma}{2} = 40^\circ \quad\Longrightarrow\quad \beta+\gamma = 80^\circ.

Passo 5

No triângulo ABC vale \alpha+\beta+\gamma=180^\circ. Como \beta+\gamma=80^\circ, segue
\alpha = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ.

Resposta

100^\circ

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