Em cada um dos casos abaixo, verifique se S é um sistema completo de restos módulo m. No caso positivo, obtenha o sistema reduzido de restos correspondente.
m=7, S=-7,-4,-1,4,5,8,9.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto S=-7,-4,-1,4,5,8,9 é um sistema completo de restos módulo m=7 e, em caso afirmativo, obter o sistema reduzido de restos. O conteúdo é classes de equivalência módulo m e precisamos reduzir cada elemento de S a um representante em 0,1,dots,6.

Passo 2

Para reduzir cada elemento de S módulo 7, usamos a definição de resto na divisão: dado a, existe um inteiro q e um resto r com 0<= r<7 tais que a=7q+r. Calculamos:
-7equiv0, -4equiv3, -1equiv6, 4equiv4, 5equiv5, 8equiv1, 9equiv2pmod7

Passo 3

O conjunto de restos obtido é 0,3,6,4,5,1,2, que reordenado dá 0,1,2,3,4,5,6. São 7 valores distintos, sem repetição, cobrindo todas as classes de Z7. Logo, S é um sistema completo de restos módulo 7.

Passo 4

O sistema reduzido de restos correspondente escolhe os representantes em 0,1,2,3,4,5,6.

Resposta

S é um sistema completo de restos módulo 7 e o sistema reduzido de restos correspondente é 0,1,2,3,4,5,6.

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