Uma sequência exata de K-espaços vetoriais Vi de dimensão finita
V0 xrightarrowT0 V1 xrightarrowT1 V2 xrightarrowT2 V3 xrightarrowT3 cdots xrightarrowTn Vn
é uma sequência de transformações lineares Ti tais que ker Ti+1=Im Ti para i=0, ldots n.
a Mostre que a sequência 0 xrightarrowT0 V1 xrightarrowT1 V2 é exata se e somente se T1 é injetora.
b Mostre que a sequência V0 xrightarrowT0 V1 xrightarrowT1 0 é exata se e somente se T0 é sobrejetora.
c Considere a sequência exata
0 xrightarrowT0 V1 xrightarrowT1 V2 xrightarrowT2 V3 xrightarrowT3 V4 xrightarrowT4 0
na qual dimK Vi=di, mostre que d1+d3=d2+d4.

Passo 1

O enunciado trata de sequências exatas de espaços vetoriais de dimensão finita. Precisamos usar a definição de sequência exata ( ker Ti+1=ImTi) e o Teorema da Dimensão (posto + nulidade).

Passo 2

Temos a sequência 0 → V₁ → V₂. Exatidão em V₁ significa ker T1=ImT0. Como T₀ é o morfismo zero, ImT0=0. Logo ker T1=0, ou seja T₁ é injetora. Recíproco imediato: se T₁ é injetora então ker T1=0=ImT0.

Passo 3

Na sequência V₀ → V₁ → 0, exatidão em V₁ exige ker T1=ImT0. Aqui T₁ é o morfismo zero de V₁ em 0, então ker T1=V1. Assim ImT0=V1, isto é, T₀ é sobrejetora. O recíproco também vale.

Passo 4

Para a sequência exata 0 → V₁ → V₂ → V₃ → V₄ → 0 aplicamos o Teorema da Dimensão: para cada i temos
di=dimker Ti+dimImTi
e, pela exatidão, ImTi=ker Ti+1. Além disso T₁ é injetora, então dimker T1=0. Substituindo, obtemos:
d1=0+dimker T2, d2=dimker T2+dimker T3, d3=dimker T3+dimker T4, d4=dimker T4

Passo 5

Somando d1+d3 e comparando com d2+d4 resulta
d1+d3=dimker T2+l(dimker T3+dimker T4r)=(dimker T2+dimker T3)+dimker T4=d2+d4

Resposta

a) A sequência 0 → V₁ → V₂ é exata ⇔ T₁ é injetora. b) A sequência V₀ → V₁ → 0 é exata ⇔ T₀ é sobrejetora. c) Na sequência 0 → V₁ → V₂ → V₃ → V₄ → 0 vale d₁+d₃=d₂+d₄.

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