Dada T: V V uma transformação linear e W um subespaço de V. Defina a aplicação T^prime: V / W V / W por
T^prime(v+W)=T(v)+W
Quando T^prime está bem definida e é uma aplicação linear? Quais são e ?

Passo 1

O enunciado: temos uma transformação linear T:Vto V e um subespaço Wsubset V. Definimos T':V/Wto V/W por T'(v+W)=T(v)+W. A questão pede: quando T' está bem definida e linear? E quais são Im(T') e ker(T')? Para resolver vamos usar a definição de espaço quociente, condição de invariância de subespaço e as definições de núcleo e imagem de uma aplicação.

Passo 2

Para que T' seja bem definida, precisamos que se v+W=v'+W então T(v)+W=T(v')+W. Mas v+W=v'+W significa v-v'in W. Logo queremos
T(v)-T(v')=T(v-v')in W
Isto deve valer para todo v-v'in W, ou seja, precisamos de T(W)subset W. Essa condição também garante que T' é linear, pois herda a linearidade de T na passagem para classes de equivalência.

Passo 3

Para determinar ker(T'), observamos que
Ou seja, ker(T')=,v+Wmid T'(v+W)=Wn=,v+Wmid T(v)+W=Wn=,v+Wmid T(v)in W é o conjunto de classes de ker(T'). Portanto
T^-1(W)

Passo 4

Para achar Im(T'), usamos

Resposta

T’ está bem definida e é linear exatamente quando T(W)subset W. Nessas condições,
Im(T’)=(T(V)+W)/W
e
ker(T’)=T^{-1}(W)/W.

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