Dada
uma transformação linear e
um subespaço de
. Defina a aplicação
por
Quando
está bem definida e é uma aplicação linear? Quais são
e
?
Passo 1
O enunciado: temos uma transformação linear
e um subespaço
. Definimos
por
. A questão pede: quando
está bem definida e linear? E quais são
e
? Para resolver vamos usar a definição de espaço quociente, condição de invariância de subespaço e as definições de núcleo e imagem de uma aplicação.
Passo 2
Para que
seja bem definida, precisamos que se
então
. Mas
significa
. Logo queremos
Isto deve valer para todo
, ou seja, precisamos de
. Essa condição também garante que
é linear, pois herda a linearidade de
na passagem para classes de equivalência.
Passo 3
Para determinar
, observamos que
Ou seja,
é o conjunto de classes de
. Portanto
Passo 4
Para achar
, usamos
Resposta
T’ está bem definida e é linear exatamente quando
. Nessas condições,
Im(T’)=(T(V)+W)/W
e
ker(T’)=T^{-1}(W)/W.
Im(T’)=(T(V)+W)/W
e
ker(T’)=T^{-1}(W)/W.