Um complexo é definido com sendo um par ( C, d ) onde di: Ci Ci+1 é uma família de espaços vetoriais, junto com uma família de di+1 circ di=0 de aplicações lineais C: cdots xrightarrowdi-2 Ci-1 xrightarrowdi-1 Ci xrightarrowdi Ci+1 xrightarrowdi+1 cdots satisfazendo a seguinte condição i. Um complexo é usualmente representado como segue:
C, d
a O i in Z-ésimo espaço de cohomologia de um complexo ( C, d ) é definido como o quociente i in N. Mostre que este espaço está bem definido, i.e. mostre que para todo n, m in Z temos Ci=0.
b Suponha que o complexo ( i notinm, ldots, n ) tem dimensão finita (i.e. C, d para todo chi(C, d):=sumk=m^n(-1)^k dim(Ck) ) e é limitado, ou seja existem tais que se . Neste caso podemos definir a característica de Euler de ( ) como sendo
Mostre que .

Passo 1

O enunciado define um complexo de espaços vetoriais C=CiiinZ com diferenciais dicolon Cito Ci+1 tal que di+1circ di=0. Define-se a cohomologia H^i(C,d)=ker(di)/Im(di-1). Na parte (a) queremos mostrar que Im(di-1)subseteqker(di), garantindo que o quociente faz sentido. Na parte (b) o complexo é de dimensão finita e limitado em m e n, e devemos provar que a característica de Euler

Passo 2

Para (a), tome um vetor xinIm(di-1). Então existe uin Ci-1 tal que x=di-1(u). Aplicando di a x temos
di(x)=di(di-1(u))=(dicirc di-1)(u)=0
pela condição do complexo. Assim xinker(di), ou seja Im(di-1)subseteqker(di).

Passo 3

Para (b), como os espaços são finitos e Ci=0 fora de iinm,dots,n, usamos os seguintes fatos de teoria de espaços vetoriais e sequências exatas:
  1. A sequência
0toker(dk)to CkxrightarrowdkIm(dk)to0
é exata, logo
dim Ck=dimker(dk)+dimIm(dk)
  1. A sequência
0toIm(dk-1)toker(dk)to H^k(C,d)to0
é exata, logo
dimker(dk)=dimIm(dk-1)+dim H^k(C,d)
Combinando as duas igualdades obtemos
dim Ck=dimIm(dk-1)+dim H^k(C,d)+dimIm(dk)

Passo 4

Agora somamos de k=m até n com sinal alternado:
sumk=m^n(-1)^kdim Ck=sumk=m^n(-1)^kdimIm(dk-1)+sumk=m^n(-1)^kdim H^k(C,d)+sumk=m^n(-1)^kdimIm(dk)
Mas note que
sumk=m^n(-1)^kdimIm(dk-1)= -sumj=m-1^n-1(-1)^jdimIm(dj)= -sumk=m^n(-1)^kdimIm(dk)
(índice deslocado), de modo que os termos envolvendo Im(d*) se cancelam, sobrando
sumk=m^n(-1)^kdim Ck=sumk=m^n(-1)^kdim H^k(C,d)

Resposta

a) Como dicirc di-1=0, qualquer vetor em Im(di-1) é anulado por di, logo Im(di-1)subseteqker(di). b) Usando as dimensões em sequências exatas e somando com sinal alternado, mostra-se que
chi(C,d)=sumk=m^n(-1)^kdim Ck=sumk=m^n(-1)^kdim H^k(C,d).

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