Um complexo é definido com sendo um par ( ) onde é uma família de espaços vetoriais, junto com uma família de de aplicações lineais satisfazendo a seguinte condição . Um complexo é usualmente representado como segue:
a O i in Z-ésimo espaço de cohomologia de um complexo ( C, d ) é definido como o quociente i in N. Mostre que este espaço está bem definido, i.e. mostre que para todo n, m in Z temos Ci=0.
b Suponha que o complexo ( i notinm, ldots, n ) tem dimensão finita (i.e. C, d para todo chi(C, d):=sumk=m^n(-1)^k dim(Ck) ) e é limitado, ou seja existem tais que se . Neste caso podemos definir a característica de Euler de ( ) como sendo
Mostre que .
Passo 1
O enunciado define um complexo de espaços vetoriais C=CiiinZ com diferenciais dicolon Cito Ci+1 tal que di+1circ di=0. Define-se a cohomologia H^i(C,d)=ker(di)/Im(di-1). Na parte (a) queremos mostrar que Im(di-1)subseteqker(di), garantindo que o quociente faz sentido. Na parte (b) o complexo é de dimensão finita e limitado em m e n, e devemos provar que a característica de Euler
Passo 2
Para (a), tome um vetor xinIm(di-1). Então existe uin Ci-1 tal que x=di-1(u). Aplicando di a x temos
di(x)=di(di-1(u))=(dicirc di-1)(u)=0
pela condição do complexo. Assim xinker(di), ou seja Im(di-1)subseteqker(di).
Passo 3
Para (b), como os espaços são finitos e Ci=0 fora de iinm,dots,n, usamos os seguintes fatos de teoria de espaços vetoriais e sequências exatas:
(índice deslocado), de modo que os termos envolvendo Im(d*) se cancelam, sobrando
sumk=m^n(-1)^kdim Ck=sumk=m^n(-1)^kdim H^k(C,d)
Resposta
a) Como dicirc di-1=0, qualquer vetor em Im(di-1) é anulado por di, logo Im(di-1)subseteqker(di). b) Usando as dimensões em sequências exatas e somando com sinal alternado, mostra-se que chi(C,d)=sumk=m^n(-1)^kdim Ck=sumk=m^n(-1)^kdim H^k(C,d).