Em cada um dos casos abaixo, verifique se S é um sistema completo de restos módulo m. No caso positivo, obtenha o sistema reduzido de restos correspondente.
m=12, S=0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto S é um sistema completo de restos módulo m e, em caso positivo, extrair dele o sistema reduzido de restos. Aqui m=12 e S={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55}. Vamos usar o conceito de sistema completo de restos (SCR) e de sistema reduzido de restos (SRR).

Passo 2

Para testar SCR, calculamos cada elemento de S módulo 12 e verificamos se obtemos todas as classes 0,1,…,11 sem repetição. Em bloco, temos:
[{0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55}\equiv{0,5,10,3,8,1,6,11,4,9,2,7}\pmod{12}.
Observamos que as classes obtidas são exatamente 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, todas distintas. Logo, S é um sistema completo de restos módulo 12.

Passo 3

Para formar o sistema reduzido de restos (SRR), selecionamos em S os elementos que são coprimos com 12. Calculamos os \xgcds: gcd(0,12)=12, gcd(5,12)=1, gcd(10,12)=2, gcd(15,12)=3, gcd(20,12)=4, gcd(25,12)=1, gcd(30,12)=6, gcd(35,12)=1, gcd(40,12)=4, gcd(45,12)=3, gcd(50,12)=2, gcd(55,12)=1. Assim extraímos {5,25,35,55}.
Esses elementos representam as classes 5,1,11 e 7 módulo 12, que formam o SRR de ϕ(12)=4 elementos.

Resposta

Sim. S é um sistema completo de restos módulo 12. O sistema reduzido de restos correspondente é {5,25,35,55}, cujos menores representantes módulo 12 são {1,5,7,11}.

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