Resolva as seguintes congruências:
13 x equiv 3(bmod 47)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a congruência 13x equiv 3 pmod47. Isso faz parte do tópico de aritmética modular, em que vamos precisar do inverso multiplicativo de 13 módulo 47.

Passo 2

Primeiro, verificamos que gcd(13,47)=1, o que garante que existe inverso de 13 em módulo 47.

Passo 3

Para encontrar o inverso de 13 módulo 47, usamos o Algoritmo de Euclides Estendido. Aplicando passo a passo, obtemos
-18cdot13 + 5cdot47 = 1,
ou seja, -18 é o coeficiente de 13 que gera 1. Logo,
13^-1 equiv -18 equiv 29 pmod47

Passo 4

Agora multiplicamos ambos os lados da congruência original por 13^-1:
x equiv 29cdot3 pmod47

Passo 5

Finalmente, calculamos 29cdot3 = 87 e reduzimos módulo 47:
87 equiv 87-47 = 40 pmod47

Resposta

x equiv 40 pmod47

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