Em cada um dos casos, determine o menor número de geradores para subespaço U=[S]. S=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right], \left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right], \left[\begin{array}{rr}0 & 1 \\\\ 0 & -1\end{array}\right]\right\} \quad em \quad M_{2}(\mathbb{R}).
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
S = \left\{ \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}1&-1\\\ 0&2\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&-1\end{pmatrix} \right\}
e pede o menor número de geradores de U=\mathrm{span}(S), isto é, a dimensão de U. Como M_{2}(\mathbb{R}) tem dimensão 4, vamos verificar dependência linear das três matrizes.
Passo 2
Representamos cada matriz como vetor em \mathbb{R}^4 na ordem (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}):
Da segunda equação vem \beta = -1\], e então \(\alpha = 1. Logo
v_3 = v_1 - v_2.
Passo 4
Vimos que v_3 depende de v_1 e v_2. Resta verificar que v_1 e v_2 são independentes: a única solução de \alpha\,v_1 + \beta\,v_2 = 0 é \alpha=\beta=0.
Portanto \{v_1,v_2\} é uma base de U e