Em cada um dos casos, determine o menor número de geradores para subespaço U=[S].
S=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right], \left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right], \left[\begin{array}{rr}0 & 1 \\\\ 0 & -1\end{array}\right]\right\} \quad em \quad M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
S = \left\{ \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}1&-1\\\ 0&2\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&-1\end{pmatrix} \right\}
e pede o menor número de geradores de U=\mathrm{span}(S), isto é, a dimensão de U. Como M_{2}(\mathbb{R}) tem dimensão 4, vamos verificar dependência linear das três matrizes.

Passo 2

Representamos cada matriz como vetor em \mathbb{R}^4 na ordem (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}):
v_1 = (1,0,0,1),\quad v_2 = (1,-1,0,2),\quad v_3 = (0,1,0,-1).

Passo 3

Procuramos coeficientes \alpha,\beta\) tais que \[\alpha\,v_1 + \beta\,v_2 = v_3.
Isso gera o sistema
\begin{cases} \alpha + \beta = 0,\\\\ -\beta = 1,\\\ \alpha + 2\beta = -1. \end{cases}
Da segunda equação vem \beta = -1\], e então \(\alpha = 1. Logo
v_3 = v_1 - v_2.

Passo 4

Vimos que v_3 depende de v_1 e v_2. Resta verificar que v_1 e v_2 são independentes: a única solução de \alpha\,v_1 + \beta\,v_2 = 0 é \alpha=\beta=0.
Portanto \{v_1,v_2\} é uma base de U e
\dim U = 2.

Resposta

O menor número de geradores de U é 2.

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