Verifique em cada um dos casos se W é um subespaço de \mathscr{C}([0,1]) espaço vetorial sobre \mathbb{R}, com \mathscr{C}([0,1])=\{f:[0,1] \longrightarrow \mathbb{R} ; f é uma função contínua }).
W=\left\{f \in \mathscr{C}([0,1]) ; f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1)=0\right\}.

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se W=\{f\in\mathscr{C}([0,1])\mid f'(0)=f'(1)=0\}
é subespaço de \mathscr{C}([0,1]), onde este é o espaço vetorial de todas as funções contínuas de [0,1] em \mathbb{R}.
Para isso vamos usar o critério de subespaço:
  1. Mostrar que W\neq\emptyset.
  2. Fechamento sob soma: se f,g\in W então f+g\in W.
  3. Fechamento sob multiplicação escalar: se f\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha f\in W.

Passo 2

Verificamos que W não é vazio. Basta observar a função nula
f_0(x)=0,
que é contínua em [0,1] e tem derivada f_0'(x)=0 para todo x, em particular f_0'(0)=f_0'(1)=0. Logo f_0\in W.

Passo 3

Fechamento sob soma. Sejam f,g\in W. Então ambas têm derivadas em 0 e 1 iguais a zero:
f'(0)=0,\quad f'(1)=0,\quad g'(0)=0,\quad g'(1)=0.
Como a derivada de soma é a soma das derivadas, para h=f+g vale
h'(0)=(f+g)'(0)=f'(0)+g'(0)=0+0=0,
h'(1)=(f+g)'(1)=f'(1)+g'(1)=0+0=0.
E h continua sendo contínua em [0,1]. Logo f+g\in W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja f\in W e \alpha\in\mathbb{R}. A função \alpha f é contínua em [0,1] e
(\alpha f)'(0)=\alpha\,f'(0)=\alpha\cdot0=0,
(\alpha f)'(1)=\alpha\,f'(1)=\alpha\cdot0=0.
Logo \alpha f\in W.

Resposta

W é um subespaço de \mathscr{C}([0,1]).

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