Verifique em cada um dos casos se
é um subespaço de
espaço vetorial sobre
, com
é uma função contínua }).
.
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar se
é subespaço de , onde este é o espaço vetorial de todas as funções contínuas de
em
.
Para isso vamos usar o critério de subespaço:
é subespaço de
Para isso vamos usar o critério de subespaço:
- Mostrar que
. - Fechamento sob soma: se
então . - Fechamento sob multiplicação escalar: se
e então .
Passo 2
Verificamos que
não é vazio. Basta observar a função nula
que é contínua em
e tem derivada
para todo
, em particular
. Logo
.
Passo 3
Fechamento sob soma. Sejam
. Então ambas têm derivadas em
e
iguais a zero:
Como a derivada de soma é a soma das derivadas, para
vale
E
continua sendo contínua em
. Logo
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
. A função
é contínua em
e
Logo
.