Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Se \operatorname{dim} W=3 e \mathscr{B} é um subconjunto de W com 2 vetores então \mathscr{B} é L.I.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço vetorial W com \dim W=3 e um subconjunto \mathscr{B}\subset W formado por 2 vetores. A afirmação a decidir é: “então \mathscr{B} é linearmente independente”. O conteúdo envolvido é dimensão de espaços vetoriais e independência linear de conjuntos de vetores.

Passo 2

Lembrando a teoria, em um espaço vetorial de dimensão n qualquer conjunto com mais de n vetores é sempre linearmente dependente. Porém, conjuntos com até n vetores podem ser ou independentes ou dependentes; a dimensão só garante um teto, não um piso, para a independência.

Passo 3

Mostramos um contra-exemplo em W=\mathbb{R}^3. Tome
\mathscr{B} = \{\,v_1,v_2\} \quad\text{com}\quad v_1=(1,0,0),\quad v_2=(2,0,0).
Note que
2\,v_1 - 1\,v_2 = 2\,(1,0,0) -1\,(2,0,0) = (0,0,0),
com coeficientes não todos nulos. Logo \mathscr{B} é linearmente dependente, apesar de ter apenas 2 vetores em um espaço de dimensão 3.

Resposta

A afirmação é às vezes falsa: nem todo subconjunto de 2 vetores em um espaço de dimensão 3 é necessariamente linearmente independente.

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