Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Se
e
é um subconjunto de
com 2 vetores então
é L.I.
( ) Se
Passo 1
O enunciado diz que temos um espaço vetorial
com
e um subconjunto
formado por 2 vetores. A afirmação a decidir é: “então
é linearmente independente”. O conteúdo envolvido é dimensão de espaços vetoriais e independência linear de conjuntos de vetores.
Passo 2
Lembrando a teoria, em um espaço vetorial de dimensão
qualquer conjunto com mais de
vetores é sempre linearmente dependente. Porém, conjuntos com até
vetores podem ser ou independentes ou dependentes; a dimensão só garante um teto, não um piso, para a independência.
Passo 3
Mostramos um contra-exemplo em
. Tome
Note que
com coeficientes não todos nulos. Logo
é linearmente dependente, apesar de ter apenas 2 vetores em um espaço de dimensão 3.
Resposta
A afirmação é às vezes falsa: nem todo subconjunto de 2 vetores em um espaço de dimensão 3 é necessariamente linearmente independente.