Considere a e b números reais com a<b, o conjunto das funções reais contínuas com domínio [ a, b ] é indicado por:
\mathscr{C}([a, b])=\{f:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R} ; f \text { é uma função contínua }\}éçãí
Mostre que \operatorname{com} \mathscr{C}([a, b]), com as operações adição ((f+g)(x)=f(x)=g(x)) e multiplicação por um escalar ((\alpha \cdot f)(x)=\alpha \cdot f(x)) definidas em \mathscr{F}(\mathbb{R}), é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
\mathscr{C}([a,b])=\{f:[a,b]\to\mathbb{R}\mid f\text{ é contínua}\}éí
com as operações
(f+g)(x)=f(x)+g(x), \qquad (\alpha\cdot f)(x)=\alpha\,f(x)
é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Vamos usar dois fatos fundamentais: (i) a soma e o produto por escalar de funções contínuas são contínuos; (ii) essas operações coincidem com as de \mathscr{F}([a,b],\mathbb{R]), que já é um espaço vetorial.

Passo 2

Mostramos que \mathscr{C}([a,b]) é fechado sob adição. Sejam f,g\in\mathscr{C}([a,b]). Como soma de funções contínuas é contínua, a função
f+g:[a,b]\to\mathbb{R}, \quad (f+g)(x)=f(x)+g(x)
é contínua em [a,b]. Logo f+g\in\mathscr{C}([a,b]).

Passo 3

Mostramos que \mathscr{C}([a,b]) é fechado sob multiplicação por escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e f\in\mathscr{C}([a,b]). Como produto de contínuas é contínuo,
\alpha\cdot f:[a,b]\to\mathbb{R}, \quad (\alpha\cdot f)(x)=\alpha\,f(x)
é contínua em [a,b]. Logo \alpha\cdot f\in\mathscr{C}([a,b]).

Passo 4

Exibimos o vetor zero e os inversos aditivos em \mathscr{C}([a,b]):
• A função zero 0:[a,b]\to\mathbb{R} definida por 0(x)=0 é contínua, logo 0\in\mathscr{C}([a,b]). Para todo f, f+0=f.
• Dado f\in\mathscr{C}([a,b]), a função -f definida por (-f)(x)=-f(x) é contínua, e satisfaz f+(-f)=0.

Passo 5

Todas as demais propriedades (associatividade e comutatividade da soma, existência de escalar neutro 1\cdot f=f, leis distributivas, etc.) são verificadas da mesma forma que em \mathscr{F}([a,b],\mathbb{R]). Como \mathscr{C}([a,b]) herda as operações e está fechada nelas, ela é um subespaço vetorial de \mathscr{F}([a,b],\mathbb{R]).

Resposta

Portanto, \mathscr{C}([a,b]), munido da soma e da multiplicação por escalar definidas acima, é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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