Considere
e
números reais com
, o conjunto das funções reais contínuas com domínio [
] é indicado por:
Mostre que
, com as operações adição
e multiplicação por um escalar
definidas em
, é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
com as operações
é um espaço vetorial sobre
. Vamos usar dois fatos fundamentais: (i) a soma e o produto por escalar de funções contínuas são contínuos; (ii) essas operações coincidem com as de
, que já é um espaço vetorial.
Passo 2
Mostramos que
é fechado sob adição. Sejam
. Como soma de funções contínuas é contínua, a função
é contínua em
. Logo
.
Passo 3
Mostramos que
é fechado sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Como produto de contínuas é contínuo,
é contínua em
. Logo
.
Passo 4
Exibimos o vetor zero e os inversos aditivos em
:
• A função zero definida por
é contínua, logo
. Para todo
,
.
• Dado , a função
definida por
é contínua, e satisfaz
.
• A função zero
• Dado
Passo 5
Todas as demais propriedades (associatividade e comutatividade da soma, existência de escalar neutro
, leis distributivas, etc.) são verificadas da mesma forma que em
. Como
herda as operações e está fechada nelas, ela é um subespaço vetorial de
.
Resposta
Portanto,
, munido da soma e da multiplicação por escalar definidas acima, é um espaço vetorial sobre
.