Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Se \operatorname{dim} W=3 e v_{1}, v_{2} \in W, então \left[v_{1}, v_{2}\right] \neq W.

Passo 1

O enunciado diz que W é um subespaço vetorial com \dim W=3 e que temos dois vetores v_{1},v_{2}\in W. Queremos decidir se sempre vale
\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}\neq W.

Passo 2

Lembrando o conceito de dimensão: um conjunto de k vetores gera um subespaço cuja dimensão é no máximo k. Em particular,
\dim\bigl(\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}\bigr)\le2.

Passo 3

Como \dim W=3, qualquer subespaço de dimensão menor que 3 não pode ser igual a W. Logo
\dim\bigl(\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}\bigr)\le2<3=\dim W
implica
\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}\neq W.

Resposta

A afirmação é sempre verdadeira.

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