Em cada um dos casos, encontre as coordenadas de v_{1} e v_{2} em relação à base \mathscr{B}.
(a) v_{1}=(3,2,3), \quad v_{2}=(0,-2,0), \quad \mathscr{B}=\{(1,1,1),(0,1,0)\} base de um subespaço de \mathbb{R}^{3}.
(b) v_{1}=-2 t^{2}, \quad v_{2}=-1+2 t+3 t^{2}, \quad \mathscr{B}=\left\{t+t^{2}, t+1\right\} base de um subespaço de \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}).
(c) v_{1}=\left[\begin{array}{rr}-1 & 0 \\\\ -2 & 0\end{array}\right], v_{2}=\left[\begin{array}{rr}1 & -3 \\\\ 2 & 0\end{array}\right], \mathscr{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{rr}0 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right]\right\} base de um subespaço de M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado nos pede, em três situações distintas, para encontrar as coordenadas de vetores v_{1} e v_{2} em relação a uma base \mathscr{B} de um subespaço. O conteúdo é representação de vetores por combinação linear em diferentes espaços vetoriais \mathbb{R}^3, \mathscr{P}_2(\mathbb{R}) e M_2(\mathbb{R}). Para resolver, vamos supor que cada vetor possa ser escrito como combinação linear dos vetores da base e montar um sistema linear para determinar as coordenadas.

Passo 2

Método geral: se \mathscr{B}=\{b_{1},\dots,b_{k}\} e temos um vetor v, procuramos escalares \alpha_{1},\dots,\alpha_{k} tais que
\alpha_{1}b_{1}+\cdots+\alpha_{k}b_{k}=v.
Isso gera um sistema de equações (coordenada a coordenada) que resolvemos para obter (\alpha_{1},\dots,\alpha_{k}), que são as coordenadas de v em \mathscr{B}.

Passo 3

Caso (a): \mathscr{B}=\{(1,1,1),(0,1,0)\}.
– Para v_{1}=(3,2,3), escrevemos
\alpha(1,1,1)+\beta(0,1,0)=(3,2,3) \quad\Longrightarrow\quad (\alpha,\;\alpha+\beta,\;\alpha)=(3,2,3).
Daqui \alpha=3 e \alpha+\beta=2 \beta=-1. Logo
[v_{1}]_{\mathscr{B}}=(3,\,-1).
– Para v_{2}=(0,-2,0), fazemos o mesmo:
(\alpha,\;\alpha+\beta,\;\alpha)=(0,-2,0)
leva a \alpha=0 e \beta=-2. Então
[v_{2}]_{\mathscr{B}}=(0,\,-2).

Passo 4

Caso (b): \mathscr{B}=\{\,t+t^{2},\,t+1\}\subset\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}).
– Para v_{1}=-2t^{2}, suponha
\alpha(t+t^{2})+\beta(t+1)=-2t^{2}.
Expandindo em \{t^{2},t,1\}:
\alpha t^{2}+(\alpha+\beta)t+\beta=-2t^{2}+0\,t+0.
O sistema é \alpha=-2, \alpha+\beta=0 e \beta=0, que é inconsistente. Logo v_{1} NÃO pertence ao subespaço gerado por \mathscr{B}.
– Para v_{2}=-1+2t+3t^{2}, fazemos igual:
\alpha=-2\mapsto\text{(não usado)},\quad \alpha(t+t^{2})+\beta(t+1)=3t^{2}+2t-1ã
gera \alpha=3, \alpha+\beta=2 \Rightarrow \beta=-1 e \beta=-1 confere com o termo constante. Assim
[v_{2}]_{\mathscr{B}}=(3,\,-1).

Passo 5

Caso (c): \mathscr{B}=\{E_{1},E_{2},E_{3}\}\subset M_{2}(\mathbb{R}) com
E_{1}=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&0\end{pmatrix},\quad E_{2}=\begin{pmatrix}0&-1\\\ 1&0\end{pmatrix},\quad E_{3}=\begin{pmatrix}1&-1\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Procuramos \,a,b,c tais que
aE_{1}+bE_{2}+cE_{3} =\begin{pmatrix}a+c & a-b-c\a+b & 0\end{pmatrix} =v.
– Para v_{1}=\begin{pmatrix}-1&0\\\ -2&0\end{pmatrix}, o sistema é
a+c=-1,\quad a-b-c=0,\quad a+b=-2.
Resolvendo: a=-1, b=-1, c=0. Assim
[v_{1}]_{\mathscr{B}}=(-1,\,-1,\,0).
– Para v_{2}=\begin{pmatrix}1&-3\\\ 2&0\end{pmatrix}, o sistema fica
a+c=1,\quad a-b-c=-3,\quad a+b=2.
Resolvendo: a=0, b=2, c=1. Logo
[v_{2}]_{\mathscr{B}}=(0,\,2,\,1).

Resposta

(a) [v_{1}]_{\mathscr{B}}=(3,-1), [v_{2}]_{\mathscr{B}}=(0,-2).
(b) v_{1} não está no subespaço gerado por \mathscr{B}. [v_{2}]_{\mathscr{B}}=(3,-1).
(c) [v_{1}]_{\mathscr{B}}=(-1,-1,0), [v_{2}]_{\mathscr{B}}=(0,2,1).

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