Sejam
um subconjunto L.I. de um espaço vetorial
e
um subconjunto de
tal que
tem 3 elementos. Determine:
(a)
,
(b)
,
(c)
,
(d)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado diz que
é um conjunto linearmente independente em
(ou seja,
) e que
tem exatamente 3 elementos. Precisamos calcular as dimensões dos subespaços
,
, da interseção
e da soma
. Vamos usar que um conjunto L.I. de
vetores gera um espaço de dimensão
, e a fórmula
Passo 2
Como
é L.I. e tem 6 vetores, o subespaço
gerado por
tem dimensão igual ao número de vetores:
Passo 3
Como
e
é L.I.,
também é L.I. com 3 vetores. Logo,
Passo 4
Visto que todo vetor de
já está em
(pois
), temos
. Então
e
Passo 5
Aplicando a fórmula da dimensão da soma de subespaços,
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)