Sejam S=\{u, v, w, r, s, t\} um subconjunto L.I. de um espaço vetorial V e R um subconjunto de S tal que R tem 3 elementos. Determine:
(a) \operatorname{dim}[S],
(b) \operatorname{dim}[R],
(c) \operatorname{dim}([S] \cap[R]),
(d) \operatorname{dim}([S]+[R]).

Passo 1

O enunciado diz que S=\{u,v,w,r,s,t\} é um conjunto linearmente independente em V (ou seja, \#S=6) e que R\subset S tem exatamente 3 elementos. Precisamos calcular as dimensões dos subespaços [S], [R], da interseção [S]\cap[R] e da soma [S]+[R]. Vamos usar que um conjunto L.I. de k vetores gera um espaço de dimensão k, e a fórmula
\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).

Passo 2

Como S é L.I. e tem 6 vetores, o subespaço [S] gerado por S tem dimensão igual ao número de vetores:
\dim [S]=6.

Passo 3

Como R\subset S e S é L.I., R também é L.I. com 3 vetores. Logo,
\dim [R]=3.

Passo 4

Visto que todo vetor de [R] já está em [S] (pois R\subset S), temos [R]\subset [S]. Então
[S]\cap[R]=[R]
e
\dim\bigl([S]\cap[R]\bigr)=\dim [R]=3.

Passo 5

Aplicando a fórmula da dimensão da soma de subespaços,
\dim\bigl([S]+[R]\bigr) =\dim [S]+\dim [R]-\dim\bigl([S]\cap[R]\bigr) =6+3-3=6.

Resposta

(a) \dim [S]=6
(b) \dim [R]=3
(c) \dim([S]\cap[R])=3
(d) \dim([S]+[R])=6

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