1. Verifique se M_{2}(\mathbb{R}), com as operações: soma usual e a multiplicação por escalar dada por
\lambda \odot\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} \lambda \cdot a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & \lambda \cdot a_{22} \end{array}\right]
é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define o conjunto M_{2}(\mathbb{R}) com a soma usual de matrizes e a multiplicação por escalar modificada:
\lambda \odot \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda\,a_{11} & a_{12}\\\ a_{21} & \lambda\,a_{22} \end{pmatrix}.
Queremos verificar se isso satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 2

Fechamento e estrutura aditiva:
  • Se A,B\in M_{2}(\mathbb{R}), então A+B (soma usual) também está em M_{2}(\mathbb{R}).
  • O elemento neutro para a soma é a matriz zero 0=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
  • Todo A tem inverso aditivo -A usual.
  • Para qualquer \lambda\in\mathbb{R} e A\in M_{2}(\mathbb{R}), a matriz \lambda\odot A tem entradas reais, então está em M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 3

Identidade e associatividade da multiplicação por escalar:
  • 1\odot A = \begin{pmatrix}1\cdot a_{11}&a_{12}\a_{21}&1\cdot a_{22}\end{pmatrix}=A.
  • Para \lambda,\mu\in\mathbb{R},
\mu\odot A = \begin{pmatrix} \mu a_{11}&a_{12}\\\ a_{21}&\mu a_{22} \end{pmatrix}, \quad \lambda\odot(\mu\odot A) = \begin{pmatrix} \lambda(\mu a_{11})&a_{12}\\\ a_{21}&\lambda(\mu a_{22}) \end{pmatrix} = (\lambda\mu)\odot A.

Passo 4

Distributividade em relação à soma de vetores:
\lambda\odot(A+B) = \lambda\odot \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda(a_{11}+b_{11})&a_{12}+b_{12}\\\ a_{21}+b_{21}&\lambda(a_{22}+b_{22}) \end{pmatrix},
enquanto
\lambda\odot A+\lambda\odot B = \begin{pmatrix} \lambda a_{11}&a_{12}\\\ a_{21}&\lambda a_{22} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \lambda b_{11}&b_{12}\\\ b_{21}&\lambda b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda(a_{11}+b_{11})&a_{12}+b_{12}\\\ a_{21}+b_{21}&\lambda(a_{22}+b_{22}) \end{pmatrix},
logo esse axioma vale.

Passo 5

Distributividade em relação à soma de escalares: calculemos
(\lambda+\mu)\odot A = \begin{pmatrix} (\lambda+\mu)a_{11}&a_{12}\\\ a_{21}&(\lambda+\mu)a_{22} \end{pmatrix},
porém
\lambda\odot A + \mu\odot A = \begin{pmatrix} \lambda a_{11}&a_{12}\\\ a_{21}&\lambda a_{22} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \mu a_{11}&a_{12}\\\ a_{21}&\mu a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\lambda+\mu)a_{11}&2\,a_{12}\\\\ 2\,a_{21}&(\lambda+\mu)a_{22} \end{pmatrix}.
Como em geral a_{12}\neq0 (e a_{21}\neq0), temos
(\lambda+\mu)\odot A \;\neq\;\lambda\odot A + \mu\odot A.
Portanto, falha o axioma da distributividade sobre soma de escalares.

Resposta

Não é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, pois falha o axioma (\lambda+\mu)\odot A = \lambda\odot A + \mu\odot A.

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