- Verifique se
, com as operações: soma usual e a multiplicação por escalar dada por
é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a soma usual de matrizes e a multiplicação por escalar modificada:
Queremos verificar se isso satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre
.
Passo 2
Fechamento e estrutura aditiva:
- Se
, então (soma usual) também está em . - O elemento neutro para a soma é a matriz zero
. - Todo
tem inverso aditivo usual. - Para qualquer
e , a matriz tem entradas reais, então está em .
Passo 3
Identidade e associatividade da multiplicação por escalar:
- .
- Para
,
Passo 4
Distributividade em relação à soma de vetores:
enquanto
logo esse axioma vale.
Passo 5
Distributividade em relação à soma de escalares: calculemos
porém
Como em geral
(e
), temos
Portanto, falha o axioma da distributividade sobre soma de escalares.
Resposta
Não é um espaço vetorial sobre
, pois falha o axioma
.