Em cada um dos casos, encontre as coordenadas do vetor dado em relação à base \mathscr{B} de V.
p(t)=5+4 t+t^{2}, \quad \mathscr{B}=\left\{1,1+t, 1-t^{2}\right\} base de \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede para expressar o polinômio
p(t)=5+4t+t^{2}
como combinação linear dos vetores da base
\mathscr{B}=\{\,1,\;1+t,\;1-t^{2}\}
de \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}). Vamos encontrar escalares x,y,z tais que
x\cdot1 \;+\; y\,(1+t)\;+\; z\,(1-t^{2}) \;=\; p(t).

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e coletando termos em potências de t:
x + y(1+t) + z(1 - t^{2}) = x + y + yt + z - zt^{2} = (x+y+z) + y\,t - z\,t^{2}.

Passo 3

Comparando com p(t)=5+4t+1\,t^{2}, igualamos coeficientes:
\begin{cases} x + y + z = 5,\\\ y = 4,\\\\ -\,z = 1. \end{cases}

Passo 4

Da segunda equação vem y=4. Da terceira, -z=1 implica z=-1. Substituindo em x+y+z=5:
x + 4 + (-1) = 5 \quad\Longrightarrow\quad x + 3 = 5 \quad\Longrightarrow\quad x = 2.

Resposta

As coordenadas de p(t) em relação à base \mathscr{B} são
[p]_{\mathscr{B}} = (2,\,4,\,-1).

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