Em cada um dos casos, encontre as coordenadas do vetor dado em relação à base \mathscr{B} de V.
A=\left[\begin{array}{ll}4 & 6 \\\\ 5 & 6\end{array}\right], \mathscr{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right], \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right], \left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right]\right\} base de M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado dá o vetor
A = \begin{pmatrix}4 & 6 \\\\ 5 & 6\end{pmatrix}
em M_{2}(\mathbb R) e a base
\mathscr B = \Bigl\{B_{1}=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&0\end{pmatrix},\;B_{2}=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix},\;B_{3}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix},\;B_{4}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&1\end{pmatrix}\Bigr\}.
Queremos encontrar escalares c_1,c_2,c_3,c_4 tais que
c_{1}B_{1}+c_{2}B_{2}+c_{3}B_{3}+c_{4}B_{4}=A,
ou seja, as coordenadas de A na base \mathscr B.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e comparando entradas, obtemos o sistema
\begin{cases} c_{1}+c_{2}+c_{3}=4,\\\ c_{1}+c_{2}+c_{4}=6,\\\ c_{1}+c_{3}+c_{4}=5,\\\ c_{2}+c_{3}+c_{4}=6. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo por eliminação:
– Subtraindo a primeira equação da segunda:
(c_{1}+c_{2}+c_{4}) - (c_{1}+c_{2}+c_{3}) = 6 - 4 \quad\Longrightarrow\quad c_{4} - c_{3} = 2 \quad\Longrightarrow\quad c_{4}=c_{3}+2.
– Substituindo c_{4} na terceira equação:
c_{1}+c_{3}+(c_{3}+2)=5 \quad\Longrightarrow\quad c_{1}+2c_{3}=3.
Mas da primeira equação c_{1}=4-c_{2}-c_{3}, então
(4-c_{2}-c_{3})+2c_{3}=3 \quad\Longrightarrow\quad 4 - c_{2} + c_{3}=3 \quad\Longrightarrow\quad c_{3}=c_{2}-1.
– Finalmente, na quarta equação:
c_{2}+(c_{2}-1)+(c_{3}+2)=6 \quad\Longrightarrow\quad c_{2}+c_{2}-1+c_{2}-1+2=6 \quad\Longrightarrow\quad 3c_{2}=6 \quad\Longrightarrow\quad c_{2}=2.

Passo 4

Retro-substituindo em c_{3}=c_{2}-1 e c_{4}=c_{3}+2 e c_{1}=4-c_{2}-c_{3}, obtemos
c_{2}=2,\quad c_{3}=1,\quad c_{4}=3,\quad c_{1}=1.

Resposta

As coordenadas de A em relação à base \mathscr B são
(1,2,1,3).

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