Questão 5 Considere a matriz
A=\left(\begin{array}{rrrr} -\frac{1}{5} & -\frac{2}{5} & -\frac{4}{5} & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ -\frac{6}{5} & -\frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\\ \frac{2}{5} & -\frac{6}{5} & -\frac{2}{5} & -1 \end{array}\right)
(a) Determine todos os autovalores de A.
(b) Se m é seu número de matrícula, determine a matriz A^{m}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{5} & -\tfrac{2}{5} & -\tfrac{4}{5} & 0 \\[6pt] 0 & 1 & 0 & 0 \\[3pt] -\tfrac{6}{5} & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} & 0 \\[6pt] \tfrac{2}{5} & -\tfrac{6}{5} & -\tfrac{2}{5} & -1 \end{pmatrix}
e pede em (a) todos os autovalores de A e em (b), para m sendo o número de matrícula, encontrar A^{m}. Para isso vamos calcular o polinômio característico, extrair os autovalores e usar o polinômio mínimo para levantar A^m.]

Passo 2

Calculemos o determinante \det(A - \lambda I). Note que a última coluna de A-\lambda I é (0,0,0,-1-\lambda)^T, de modo que
\det(A-\lambda I) = (-1-\lambda)\,\det \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{5}-\lambda & -\tfrac{2}{5} & -\tfrac{4}{5} \\[3pt] 0 & 1-\lambda & 0 \\[3pt] -\tfrac{6}{5} & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5}-\lambda \end{pmatrix}.
No menor 3\times3, expandindo pela segunda linha:
\det_3 = (1-\lambda)\Bigl[\bigl(-\tfrac{1}{5}-\lambda\bigr)\bigl(\tfrac{1}{5}-\lambda\bigr) - \bigl(-\tfrac{4}{5}\bigr)\bigl(-\tfrac{6}{5}\bigr)\Bigr].
Expandindo,
\bigl(-\tfrac{1}{5}-\lambda\bigr)\bigl(\tfrac{1}{5}-\lambda\bigr) = \lambda^2 - \tfrac{1}{25}, \quad \bigl(-\tfrac{4}{5}\bigr)\bigl(-\tfrac{6}{5}\bigr)=\tfrac{24}{25},
portanto
\det_3 = (1-\lambda)\bigl(\lambda^2 - \tfrac{1}{25} - \tfrac{24}{25}\bigr) = (1-\lambda)(\lambda^2-1) = -( \lambda-1)^2(\lambda+1).
Logo
\det(A-\lambda I) = (-1-\lambda)\bigl[-(\lambda-1)^2(\lambda+1)\bigr] = (\lambda+1)^2(\lambda-1)^2.]

Passo 3

Do fatoramento
\det(A-\lambda I) = (\lambda-1)^2(\lambda+1)^2
vemos que os autovalores de A são
\lambda = 1, \quad \lambda = -1,
cada um com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Como o polinômio mínimo divide (\lambda-1)^2(\lambda+1)^2 e A satisfaz
A^2 - I = 0,
temos que o polinômio mínimo é \lambda^2-1 (raízes simples), logo
A^2 = I.

Passo 5

Usando A^2=I\), para qualquer inteiro \(m\ge0\) obtemos \[A^m = \begin{cases} I, & \text{se \(m for par},\[4pt] A, & se m for ímpar. \end{cases}]]

Resposta

(a) Os autovalores são \;1\) (multiplicidade 2) e \(-1\) (multiplicidade 2). (b) \[A^m = \begin{cases} I, & \text{se \(m é par},\ A, & se m é ímpar.]

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