Em cada um dos casos, encontre as coordenadas do vetor dado em relação à base \mathscr{B} de V.
u=(3,-2,7), \quad \mathscr{B}=\{(1,1,1),(1,0,1),(1,0,-1)\} base de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas de \displaystyle u=(3,-2,7)
em relação à base \mathscr{B}=\{\,v_{1}=(1,1,1),\;v_{2}=(1,0,1),\;v_{3}=(1,0,-1)\}
de \mathbb{R}^3.
Para isso, precisamos encontrar escalares a,b,c tais que
a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}=u.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear em coordenadas, temos
a\,(1,1,1)+b\,(1,0,1)+c\,(1,0,-1)=(3,-2,7),
o que gera o sistema
\begin{cases} a + b + c = 3,\\\ a = -2,\\\ a + b - c = 7. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação vem
a=-2.
Substituindo em a + b + c = 3\) e em \(a + b - c = 7\), obtemos \[\begin{cases} -2 + b + c = 3,\\\\ -2 + b - c = 7. \end{cases}
Somando as duas equações:
(-2 + b + c) + (-2 + b - c) = 3 + 7 \quad\Longrightarrow\quad 2b -4 =10 \quad\Longrightarrow\quad b=7.
Substituindo b=7\] em \(-2 + b + c = 3
-2 + 7 + c =3 \quad\Longrightarrow\quad c=-2.

Resposta

As coordenadas de u em relação a \mathscr{B} são
[-2,\,7,\,-2]_{\mathscr{B}}.

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