Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.
Se
é invertível, então existe um polinômio
tal que
;
Dica: Dizemos que duas matrizes
são semelhantes se existir uma matriz
invertível tal que $A=P^{-1} B P.
Se
Dica: Dizemos que duas matrizes
Passo 1
O enunciado pergunta se, para um operador linear invertível
, existe um polinômio
tal que
Vamos usar o Teorema de Cayley–Hamilton, o polinômio minimal de
e o algoritmo de Euclides para polinômios.
Passo 2
Seja
o polinômio minimal de
. Por definição temos
e, como
é invertível,
não é raiz de
, ou seja,
.
Passo 3
Como
não é raiz de
, temos
. Pelo algoritmo de Euclides em
, existem polinômios
e
tais que
Passo 4
Substituindo
na igualdade acima, obtemos
Mas
, logo
Basta então tomar
.
Resposta
A afirmação é verdadeira. O polinômio
que satisfaz
é o polinômio
encontrado pelo algoritmo de Euclides aplicado a
e ao polinômio minimal
.