Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.
Se T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{n}\right) é invertível, então existe um polinômio p(x) tal que T^{-1}=p(T);
Dica: Dizemos que duas matrizes A, B \in M_{n \times n} são semelhantes se existir uma matriz P \in M_{n \times n} invertível tal que $A=P^{-1} B P.

Passo 1

O enunciado pergunta se, para um operador linear invertível T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n), existe um polinômio p(x) tal que
T^{-1} = p(T).
Vamos usar o Teorema de Cayley–Hamilton, o polinômio minimal de T e o algoritmo de Euclides para polinômios.

Passo 2

Seja m_T(x) o polinômio minimal de T. Por definição temos
m_T(T) = 0
e, como T é invertível, 0 não é raiz de m_T, ou seja, m_T(0)\neq 0.

Passo 3

Como 0 não é raiz de m_T(x), temos \gcd(x,m_T(x))=1. Pelo algoritmo de Euclides em \mathbb{R}[x], existem polinômios a(x) e b(x) tais que
a(x)\,x \;+\; b(x)\,m_T(x) \;=\; 1.

Passo 4

Substituindo x=T na igualdade acima, obtemos
a(T)\,T \;+\; b(T)\,m_T(T) \;=\; I.
Mas m_T(T)=0, logo
a(T)\,T = I \quad\Longrightarrow\quad a(T) = T^{-1}.
Basta então tomar p(x)=a(x).

Resposta

A afirmação é verdadeira. O polinômio p(x) que satisfaz T^{-1}=p(T) é o polinômio a(x) encontrado pelo algoritmo de Euclides aplicado a x e ao polinômio minimal m_T(x).

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