Em cada um dos casos, encontre (e interprete) a interseção da superfície \mathcal{S} com planos paralelos aos planos do sistema de coordenadas. Em seguida, indique a nomenclatura da superfície \mathcal{S}.
\mathcal{S}: x^{2}+4 y^{2}+8 x-8 y-4 z+28=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície
\mathcal{S}: x^{2}+4y^{2}+8x-8y-4z+28=0
e pede as interseções de \mathcal{S} com planos paralelos aos planos coordenados xy, yz e xz. Depois, quer que a gente identifique o tipo de superfície. Para isso, vamos primeiro colocar a equação numa forma mais clara (completando quadrados) e ver como z depende de x e y.

Passo 2

Completemos quadrados em x e em y:
x^{2}+8x = (x+4)^{2}-16,
4y^{2}-8y = 4\bigl((y-1)^{2}-1\bigr) = 4(y-1)^{2}-4.
Substituindo em \mathcal{S}:
(x+4)^{2}-16 \;+\;4(y-1)^{2}-4 \;-\;4z \;+\;28 = 0
\Longrightarrow (x+4)^{2} + 4(y-1)^{2} +8 \;-\;4z = 0
\Longrightarrow 4z = (x+4)^{2} + 4(y-1)^{2} +8 \quad\Longrightarrow\quad z = \tfrac{1}{4}(x+4)^{2} + (y-1)^{2} + 2.
Isso já mostra que \mathcal{S} é um paraboloide.

Passo 3

Interseção com plano paralelo ao plano xy (ou seja, z = z_{0}):
Da expressão de z temos
z_{0} = \tfrac{1}{4}(x+4)^{2} + (y-1)^{2} +2 \quad\Longleftrightarrow\quad \tfrac{(x+4)^{2}}{4(z_{0}-2)} + \tfrac{(y-1)^{2}}{(z_{0}-2)} = 1.
  • Se z_{0}>2, é a equação de uma elipse.
  • Se z_{0}=2, reduz-se ao ponto (x,y)=(-4,\,1).
  • Se z_{0}<2, não há solução (vazio).

Passo 4

Interseção com plano paralelo ao plano yz (ou seja, x = x_{0}):
Substituindo x=x_{0} em
z = \tfrac{1}{4}(x_{0}+4)^{2} + (y-1)^{2} +2
(y-1)^{2} = z - \Bigl[\tfrac{1}{4}(x_{0}+4)^{2}+2\Bigr].
Isso é a equação de uma parábola no plano yz, com vértice em
\bigl(y=1,\;z=\tfrac{1}{4}(x_{0}+4)^{2}+2\bigr).

Passo 5

Interseção com plano paralelo ao plano xz (ou seja, y = y_{0}):
Substituindo y=y_{0} em
z = \tfrac{1}{4}(x+4)^{2} + (y_{0}-1)^{2} +2
(x+4)^{2} = 4\Bigl[z - \bigl((y_{0}-1)^{2}+2\bigr)\Bigr].
Isso é uma parábola no plano xz, com vértice em
\bigl(x=-4,\;z=(y_{0}-1)^{2}+2\bigr).

Resposta

Plano z=z_{0}: elipses (para z_{0}>2), ponto único (para z_{0}=2), vazio (para z_{0}<2).
Plano x=x_{0}: parábolas no plano yz.
Plano y=y_{0}: parábolas no plano xz.
Nome da superfície \mathcal{S}: paraboloide elíptico.

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