Em cada um dos casos, encontre (e interprete) a interseção da superfície
com planos paralelos aos planos do sistema de coordenadas. Em seguida, indique a nomenclatura da superfície
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e pede as interseções de
com planos paralelos aos planos coordenados
,
e
. Depois, quer que a gente identifique o tipo de superfície. Para isso, vamos primeiro colocar a equação numa forma mais clara (completando quadrados) e ver como
depende de
e
.
Passo 2
Completemos quadrados em
e em
:
Substituindo em
:
Isso já mostra que
é um paraboloide.
Passo 3
Interseção com plano paralelo ao plano
(ou seja,
):
Da expressão de
temos
- Se
, é a equação de uma elipse. - Se
, reduz-se ao ponto . - Se
, não há solução (vazio).
Passo 4
Interseção com plano paralelo ao plano
(ou seja,
):
Substituindo
em
dá
Isso é a equação de uma parábola no plano
, com vértice em
.
Passo 5
Interseção com plano paralelo ao plano
(ou seja,
):
Substituindo
em
dá
Isso é uma parábola no plano
, com vértice em
.
Resposta
Plano
: elipses (para
), ponto único (para
), vazio (para
).
Plano : parábolas no plano
.
Plano : parábolas no plano
.
Nome da superfície : paraboloide elíptico.
Plano
Plano
Nome da superfície