Em cada um dos casos, encontre (e interprete) a interseção da superfície \mathcal{S} com planos paralelos aos planos do sistema de coordenadas. Em seguida, indique a nomenclatura da superfície \mathcal{S}.
\mathcal{S}: x^{2}+y^{2}+z^{2}-6 x+4 y+9=0

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície
\mathcal{S}:\;x^{2}+y^{2}+z^{2}-6x+4y+9=0
e pede as interseções de \mathcal{S} com planos paralelos aos planos coordenados — ou seja, com x=c, y=k e z=h — e, ao final, qual é a nomenclatura de \mathcal{S}. O conteúdo-chave aqui é completar quadrados para reconhecer o tipo de superfície (geometria de segundo grau) e, em seguida, analisar as curvas de nível (traços).

Passo 2

Começamos completando quadrados em x e em y:
x^{2}-6x = (x-3)^{2}-9, \qquad y^{2}+4y = (y+2)^{2}-4.
Substituindo na equação de \mathcal{S}:
(x-3)^{2}-9 + (y+2)^{2}-4 + z^{2} + 9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-3)^{2} + (y+2)^{2} + z^{2} = 4.
Isso mostra que \mathcal{S} é a esfera de centro (3,-2,0) e raio 2.

Passo 3

Interseção com o plano x=c. Substituindo x=c na forma canônica:
(c-3)^{2} + (y+2)^{2} + z^{2} = 4 \quad\Longrightarrow\quad (y+2)^{2} + z^{2} = 4 - (c-3)^{2}.
Para \bigl|c-3\bigr|<2 temos uma circunferência de raio \sqrt{4-(c-3)^{2}} no plano x=c. Se \bigl|c-3\bigr|=2 o traço é um ponto e, se \bigl|c-3\bigr|>2, não há interseção real.

Passo 4

Interseção com o plano y=k. Substituindo y=k:
(x-3)^{2} + (k+2)^{2} + z^{2} = 4 \quad\Longrightarrow\quad (x-3)^{2} + z^{2} = 4 - (k+2)^{2}.
Para \bigl|k+2\bigr|<2 obtemos uma circunferência de raio \sqrt{4-(k+2)^{2}} no plano y=k. Se \bigl|k+2\bigr|=2, é um ponto; se \bigl|k+2\bigr|>2, vazio.

Passo 5

Interseção com o plano z=h. Substituindo z=h:
(x-3)^{2} + (y+2)^{2} + h^{2} = 4 \quad\Longrightarrow\quad (x-3)^{2} + (y+2)^{2} = 4 - h^{2}.
Para \lvert h\rvert<2 obtemos uma circunferência de raio \sqrt{4-h^{2}} no plano z=h. Se \lvert h\rvert=2, reduz-se a um ponto; se \lvert h\rvert>2, não há interseção.

Resposta

A superfície \mathcal{S} é uma esfera de centro (3,-2,0) e raio 2.

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