Em cada um dos casos, encontre (e interprete) a interseção da superfície \mathcal{S} com planos paralelos aos planos do sistema de coordenadas. Em seguida, indique a nomenclatura da superfície \mathcal{S}. \mathcal{S}: x^{2}+y^{2}+z^{2}-6 x+4 y+9=0
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície
\mathcal{S}:\;x^{2}+y^{2}+z^{2}-6x+4y+9=0
e pede as interseções de \mathcal{S} com planos paralelos aos planos coordenados — ou seja, com x=c, y=k e z=h — e, ao final, qual é a nomenclatura de \mathcal{S}. O conteúdo-chave aqui é completar quadrados para reconhecer o tipo de superfície (geometria de segundo grau) e, em seguida, analisar as curvas de nível (traços).
Para \bigl|c-3\bigr|<2 temos uma circunferência de raio \sqrt{4-(c-3)^{2}} no plano x=c. Se \bigl|c-3\bigr|=2 o traço é um ponto e, se \bigl|c-3\bigr|>2, não há interseção real.
Para \bigl|k+2\bigr|<2 obtemos uma circunferência de raio \sqrt{4-(k+2)^{2}} no plano y=k. Se \bigl|k+2\bigr|=2, é um ponto; se \bigl|k+2\bigr|>2, vazio.
Para \lvert h\rvert<2 obtemos uma circunferência de raio \sqrt{4-h^{2}} no plano z=h. Se \lvert h\rvert=2, reduz-se a um ponto; se \lvert h\rvert>2, não há interseção.
Resposta
A superfície \mathcal{S} é uma esfera de centro (3,-2,0) e raio 2.