Em cada um dos casos, encontre (e interprete) a interseção da superfície \mathcal{S} com planos paralelos aos planos do sistema de coordenadas. Em seguida, indique a nomenclatura da superfície \mathcal{S}.
\mathcal{S}: 2 x^{2}+y^{2}-4 z^{2}+2 y+5=0

Passo 1

O enunciado pede as interseções da superfície
\mathcal{S}:2x^{2}+y^{2}-4z^{2}+2y+5=0
com planos paralelos aos planos coordenados, ou seja, x=k, y=k e z=k. Vamos, em cada caso, substituir a coordenada fixa, completar o quadrado em y quando necessário e identificar o tipo de cônica resultante. Por fim, reescreveremos \mathcal{S} em forma canônica para classificá-la.

Passo 2

Plano x=k. Substituindo x=k em \mathcal{S} vem
2k^{2}+y^{2}-4z^{2}+2y+5=0.
Como y^{2}+2y=(y+1)^{2}-1, obtemos
2k^{2}+(y+1)^{2}-1-4z^{2}+5=0 \;\Longrightarrow\; (y+1)^{2}-4z^{2}+2k^{2}+4=0.
O sinal de (y+1)^{2} é positivo e de z^{2} é negativo, logo a interseção é uma hipérbole no plano x=k.

Passo 3

Plano y=k. Substituindo y=k em \mathcal{S} resulta
2x^{2}-4z^{2}+k^{2}+2k+5=0 \;\Longrightarrow\; 2x^{2}-4z^{2}=-(k^{2}+2k+5).
Mas k^{2}+2k+5=(k+1)^{2}+4>0, então podemos escrever
4z^{2}-2x^{2}=k^{2}+2k+5,
o que também é uma hipérbole no plano y=k.

Passo 4

Plano z=k. Substituindo z=k em \mathcal{S}
2x^{2}+y^{2}+2y+5-4k^{2}=0.
Completando o quadrado em y, y^{2}+2y=(y+1)^{2}-1, temos
2x^{2}+(y+1)^{2}-1+5-4k^{2}=0 \;\Longrightarrow\; 2x^{2}+(y+1)^{2}=4(k^{2}-1).
Para |k|>1 o lado direito é positivo e a interseção é uma elipse; se |k|=1 é um ponto; se |k|<1 não há interseção real.

Passo 5

Para classificar \mathcal{S} completa-se o quadrado em y na equação original:
2x^{2}+(y+1)^{2}-1-4z^{2}+5=0 \;\Longrightarrow\; 2x^{2}+(y+1)^{2}-4z^{2}=-4.
Dividindo por -4 obtemos
\frac{z^{2}}{1}-\frac{x^{2}}{2}-\frac{(y+1)^{2}}{4}=1,
que é a forma padrão de um hiperbolóide de duas folhas com eixo paralelo a z e centro em (0,-1,0).

Resposta

Interseção com x=k: hipérbole no plano y\!z.
Interseção com y=k: hipérbole no plano x\!z.
Interseção com z=k: elipse para |k|>1, ponto para |k|=1, vazia para |k|<1.
\mathcal{S} é um hiperbolóide de duas folhas de eixo paralelo a z, centrado em (0,-1,0).

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