Em cada um dos casos, encontre (e interprete) a interseção da superfície
com planos paralelos aos planos do sistema de coordenadas. Em seguida, indique a nomenclatura da superfície
.
Passo 1
O enunciado pede as interseções da superfície
com planos paralelos aos planos coordenados, ou seja, ,
e
. Vamos, em cada caso, substituir a coordenada fixa, completar o quadrado em
quando necessário e identificar o tipo de cônica resultante. Por fim, reescreveremos
em forma canônica para classificá-la.
com planos paralelos aos planos coordenados, ou seja,
Passo 2
Plano
. Substituindo
em
vem
Como
, obtemos
O sinal de
é positivo e de
é negativo, logo a interseção é uma hipérbole no plano
.
Passo 3
Plano
. Substituindo
em
resulta
Mas
, então podemos escrever
o que também é uma hipérbole no plano
.
Passo 4
Plano
. Substituindo
em
dá
Completando o quadrado em
,
, temos
Para
o lado direito é positivo e a interseção é uma elipse; se
é um ponto; se
não há interseção real.
Passo 5
Para classificar
completa-se o quadrado em
na equação original:
Dividindo por
obtemos
que é a forma padrão de um hiperbolóide de duas folhas com eixo paralelo a
e centro em
.
Resposta
Interseção com
: hipérbole no plano
.
Interseção com : hipérbole no plano
.
Interseção com : elipse para
, ponto para
, vazia para
.
é um hiperbolóide de duas folhas de eixo paralelo a
, centrado em
.
Interseção com
Interseção com